これならわかる微積分学

これならわかる微積分学

これならわかる! 読者の疑問にやさしく詳しく答えてくれる微積分学の入門書。

ジャンル
発行年月日
2022/08/18
判型
A5
ページ数
288ページ
ISBN
978-4-339-06126-0
これならわかる微積分学
在庫あり

定価

2,970(本体2,700円+税)

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  • 内容紹介
  • まえがき
  • 目次
  • レビュー
  • 著者紹介
  • 広告掲載情報

●読者対象
 大学初年次の学生、または高校/高専の上級生。理系・文系問わず。

●キーワード
 微分、積分、極限、無限、自然対数の底、対数関数、指数関数、三角関数、逆三角関数、双曲線関数、合成関数、逆関数、陰関数、マクローリン展開、テイラー展開、置換積分、部分積分、曲線の長さ、回転体の面積、立体の体積

●著者からのメッセージ

 数学は、イマジネーション(=想像力)の学問です。…と聞くと、驚くでしょうか?

 僕は、数学を学ぶ際に一番大切なのは、頭の中にイメージを描くことだと思っています。特に、なにか初めて見聞きする物事を学ぶ際は、それがおよそどんなものなのか、イメージを持つことが大切です。
 
たとえば、初めて分数を学ぶ際には、「まるいケーキを5人で分けると…」というような例え話から始めるでしょう。実際にケーキの絵を描いて、それを5等分する様子を見せれば、ゴブンノイチ(=1/5)という分数のイメージが伝わります。
もし初めて分数を学ぶときに、横棒の上下に1と5という数字を書き込んで、「これが分数だよ」とだけ説明されたとしたら…。たちまち分数が嫌いになるかもしれません。

大学で学ぶ数学も、うえと全く同じことが言えます。どんなに難しい概念が現れたとしても、それに対するイメージを頭に描くことができれば、ある程度までは理解できるはずです。しかし大学で数学を学ぶ場では、こういう「おおざっぱなイメージ」があまり重視されません。ついつい、定義→定理→証明→練習問題という無味乾燥なサイクルを、ただ淡々と繰り返すスタイルに陥りがちです。そうした著者の経験と反省から、今回この本を執筆しました。

●本書の特徴

本書は、イメージを大切にした、微積分学のテキストです。

読者のみなさんが、読んだ物事を頭の中でイメージしやすいよう、親しみのあるイラストやグラフを多用しました。また、大学初年次の読者が疑問を抱きやすい題材についても、かなり細かく説明してあります。たとえば、
・無限大∞とはなにか? (§1.2)
・対数は何のためにあるのか? (§2.2)
・なぜ微分の逆操作で面積が求まるのか? (§9.3)
など、他の類書ではスッと通り過ぎてしまいがちな題材も、豊富な例とイラストを用いて詳細に説明してあります。

難易度としては、高校で習得する数学3(数III)から少しだけ背伸びした、いわば「数学3.5」に相当するテキストとなっています。微積分学とはどういう学問なのか、その大まかなイメージを本書によって掴めた読者は、より程度の高い他の良書にぜひ挑戦してください。イメージを持つ前と後では、理解の進め方が全然違うことに気づくはずです。

本書のところどころには、コーヒーブレイク(=コラム)という見出しで、様々な学問にまつわる豆知識を載せてあります。数学に関するトリビアを含め、生物学・化学・文学など、多彩な分野の豆知識を詰め込みました。本書の本題である微積分学とは別の観点で、読者の興味に沿う話題があれば、うれしく思います。

ある理科の実験にまつわる,こんなエピソードがあります。

『・・・・・・その実験では,まずアルミ箔のしわを伸ばせといわれた。理由もわからぬまま,とにかくいわれたとおりに作業していると,今度はそのアルミ箔で,竹串を巻け,といわれた。何度もやり直しをさせられたあげく,さらに今度は,その竹串を火であぶれ,といわれた。・・・・・・(中略)・・・・・・
でも,もし最初に「エジソンの白熱電球をつくるぞ!」といってくれてたら,もっと楽しく実験できたのに・・・・・・』

目的や目標がわからないまま,ただ作業をさせられるのは,誰にとってもシンドイものです。だからこそ,教える側には,「その作業がなぜ必要か」を相手に伝える気遣いが肝心なのでしょう。

さて,この話,じつは数学のテキストにも,まったく同じことが当てはまるのではないでしょうか?

微積分学というのは,歴史の古い学問です。それゆえ,教えるべき内容とその順番には決まったセオリーがあります。そうした伝統ある流れに沿って,各トピックを教えていけば,確かに大きな穴はないでしょう。

しかし,微分と積分を学ぶ人すべてが,十分な予備知識をもっているはずはありません。そういった五里霧中で不安を感じる読者に対して,やれ「実数の連続性」だの,「級数の収束性」だの,石橋をたたきつづけるような厳密性にこだわった内容構成が本当に適しているのでしょうか?それを学ぶべき理由も教えずに,ただ「アルミ箔のしわを伸ばせ」というステレオタイプな教え方に,なってはいないでしょうか?

この本は,こうした著者なりの経験と反省から,従来型のテキスト構成にとらわれずに内容を編纂したものです。執筆においては,できるだけ初学者の興味がつづくように,多彩な話題を平易な言葉で扱うように心掛けました。また,各章や各セクションの重要ポイントは,逐一太字でわかりやすく明示しました。この工夫によって,「なんのためにこれを読まされているの!?」といった印象はずいぶん薄れるものと思います。さらに必要な場面では,同じ内容を繰り返し,本書の違う箇所で説明してあります。通常の数学のテキストでは,定義や用語の説明を一回だけに留めることが多いので,この点も従来型とは異なる本書の特長といえるでしょう。

一方で,初学者の興味にかなう内容を目指したため,数学的な厳密性を欠いた箇所は少なくありません。より厳密な内容を好まれる読者には,伝統あるほかの良書をお勧めします。ただしそうした読者にも,本書でふんだんに盛り込んだ脚注やコーヒーブレイク,そして付録の中に,きっと目を惹く話題があろうかと思います。

なお,章末問題の解答例は,コロナ社の書籍詳細ページyで閲覧できます。問題の解き方がわからなかったときは,どんどん解答例を覗いてください。ただし,丸写しはしないこと。解答例をちょっと覗いて,解き方がわかったら,すぐに解答を閉じてその問題に再挑戦する。そうやって問題と解答を何度も往復して,手もとのペンを動かすことが,理解を深める一番の近道になるはずです。

本書のいたるところに挿入されたイラストは,すべて研究室スタッフである豊浦牧子さんによるものです。また,山梨大学生命環境学部学部生の池谷汐織さんには,学生の目線で原稿全体を丁寧に精読して頂き,誤植を丹念に洗い出して頂きました。お二人の多大なお力添えに,謹んで感謝を申し上げます。

2022年6月
島 弘幸

1. 無限とはなにか
1.1 微積分学は「無限」の数学である
1.2 無限大∞とはなにか
1.3 x=0とx→0の違いとは
1.4 極限とはなにか
章末問題

2. 対数とはなにか
2.1 対数のもつ意味
2.2 対数はなぜ必要か
2.3 底の条件,真数条件
2.4 自然対数の底e
2.5 自然対数と常用対数
章末問題

3. いろいろな関数
3.1 関数とはなにか
3.2 逆関数とは
3.3 逆関数があるための条件とは
3.4 fの値域はf^-1の定義域
3.5 指数関数
3.6 対数関数
3.7 三角関数を定義する3種類の方法
3.8 三角関数のグラフの大事な性質
3.9 双曲線関数
3.10 双曲線関数の名前の由来
3.11 逆三角関数
3.12 逆三角関数と単位円の意外な関係
3.13 逆三角関数の定義域と値域
3.14 増加関数の速さ比べ
章末問題

4. 関数のグラフ表示
4.1 グラフの全体像を把握せよ
4.2 定義域を調べよ
4.3 軸との交点を探せ
4.4 対称性はあるか
4.5 漸近線はあるか
4.6 グラフの描き方:実践編
4.7 グラフの平行移動
4.8 グラフの拡大と縮小
4.9 極座標のグラフ
章末問題

5. 関数の微分簡単編
5.1 微分の定義
5.2 x^nの微分
5.3 \sqrt[n]{x}の微分
5.4 e^xの微分
5.5 logxの微分
5.6 微分の記号の使い分け
章末問題

6. 関数の微分ちょいムズ編
6.1 積の微分
6.2 商の微分
6.3 cosxの微分
6.4 sinxの微分,tanxの微分
6.5 合成関数の微分
6.6 合成関数の微分公式の「大雑把な」証明
6.7 逆関数の微分
6.8 逆三角関数の微分
章末問題

7. 微分計算の応用
7.1 対数微分法
7.2 陰関数
7.3 陰関数の微分
7.4 関数の最大最小
7.5 たがいに相関する変化率
章末問題

8. 関数の展開
8.1 関数を展開するとはどういうことか
8.2 関数を1次式で近似する
8.3 関数を2次式で近似する
8.4 関数を多項式で近似する
8.5 マクローリン展開とテイラー展開
8.6 展開の次数を無限にとると
8.7 収束半径とは
8.8 関数の展開の応用(1):極限の計算
8.9 関数の展開の応用(2):積分の計算
章末問題

9. 積分とはなにか
9.1 積分は二つの顔をもつ
9.2 区分求積法
9.3 逆微分と面積の関係
9.4 原始関数とは
9.5 積分定数がどんな値でもよいわけ
9.6 不定積分と定積分
9.7 積分に関するいくつかの注意
9.8 手で解ける積分の例
9.9 1/xの積分に絶対値がつくわけ
9.10 手で解けない積分の例
章末問題

10. 初等関数の積分
10.1 置換積分
10.2 形式的な約分(du/dx)dx=du
10.3 置換積分の具体例
10.4 部分積分
10.5 部分積分の連続技
章末問題

11. 面積・体積・曲線の長さ
11.1 立体の体積
11.2 回転体の体積
11.3 曲線の長さ
11.4 曲線の長さ(陰関数表示の場合)
11.5 回転面の面積
11.6 円筒か,円錐台か
章末問題

付録
A.1 常用対数表の使い方
A.2 複素数と三角関数のつながり
 A.2.1 虚数iを用いた三角関数の表現
 A.2.2 複素平面を用いた三角関数の表現
 A.2.3 オイラーの公式の応用例:
A.3 (sinx)/x→1(x→0)の証明
A.4 合成関数の微分,厳密な証明
 A.4.1 前準備その1
 A.4.2 前準備その2
 A.4.3 合成関数の式の証明
A.5 円錐と円錐台の幾何
 A.5.1 円錐台の側面積
 A.5.2 円錐台の体積
 A.5.3 円錐の体積にはなぜ1/3が付くのか
索引

読者モニターレビュー【 Cielo 様(ご専門:SE )】

多くの理系分野で非常に重要な「微積分学」ですが、高校数学でも大学数学でも抽象的な分野の印象で、統計学などと比べるといまいち掴めずにいました。本書は、難易度「数学3.5」に相当すると公式サイトにもあるように、高校から大学への橋渡しとなるような難易度で、数IIIを勉強しながらもしくは勉強し終えた読者にちょうど良いと思いました。
読んでみてよかった点は、文字がびっしりになりがちな大学数学の参考書と比べて、視覚的に理解してもらおう、コラムなどでちょっと一息ついてもらおうと、「読者の快適さ」を考えた作りになっていたことです。自習などでもやりきれそうと自信を持たせてくれる難易度と解説のわかりやすさはピカイチだと感じました。

読者モニターレビュー【 日下部 貢一 様 明海大学非常勤講師(ご専門:経営情報学 )】

本書は初心者向けの微分積分学の入門書である。微分積分は線形代数とともに、理系のみならず文系であっても科学的研究手法を用いる学問を学ぶ基礎として必須の数学である。当然大学教科書としての需要は多く、現在刊行しているものだけでも数百冊は下らないであろう。

大学で新入生に微積分を教えるときの留意点として、高校数学からの接続の問題、極限の厳密な扱いをどうするかの2点がある。第1の点は、高校における数学履修の多様性の問題である。微積分をまったく学ばなかった者、整関数の微積分を学んだ者(基礎解析程度)、三角関数や対数関数などの初等関数の微積分まで学んだものなど、学生のレベル差は大きい。第2の点は、いわゆるε-δ方式をどこまで教えるかである。本書はこの点で明確な路線をとっている。前者においては、高校で微積を学ばない学生にもわかるように充分な紙幅をとり、入念な準備を行っている。後者ではε-δ方式は扱わないで、高校数学同様の直感的説明で済ませている。

本書の特徴として、著者の教育的配慮が行き届いていることがあげられる。大学の数学教科書は無味乾燥な定義から始め、定理の証明、その定理を使って解く例題、演習問題などの繰り返しと淡々に進むものが多い。これに対し本書は題材ごとに自由に説明する形をとり、新しい数学概念を導入するときは、最初にその意味を十分に説明している。大切な部分はゴシック大文字で強調し、まるで教室で教師の説明を聞くかのごとくである。随所にかわいらしいイラストが添えてあり、これは著者の研究室の学生さんによるとのことである。各章末に問題があり、解答はコロナ社Webサイトに掲載されている。本文を理解すれば解ける素直な問題が多いことも入門書として望ましい配慮である。

印象的なのは学習者が何気なく見過ごしてしまいがちな点を随所で指摘していることである。たとえば∞は特定の数ではないこと、対数の底の条件と真数条件の必要性、高校数学における合成関数の微分公式の証明は穴があることなど、著者の教育者としての経験に基づくものであろう。

第1章冒頭で早くも微分係数の定義と積分の意味を説明し、無限大や「ある数に限りなく近づく」ことの意味を直感的に説明している。第2章から第4章は本書で扱う微積分の数学的準備にあてられている。ここで高校数学の範囲である指数、対数、三角の初等関数と大学数学で扱う双曲線関と逆三角関数を導入する。グラフを描く際の留意点も親切に説明している。第5章以降が微積分の本論である。第5~7章は微分法の計算とその応用、第8章は関数展開、第9~11章は積分とその応用という章立てである。構成自体は伝統的なものであるが、教室での講義を再現したようなスタイルで、楽しく学習できると思う。

以上述べたように、本書は大学の入門レベルの微分積分学教科書として充分使用できるものである。学生のレベルに応じて、第4章までを適宜自習に任せれば半期用として、また本書全体をゆっくりと学習するのであれば1年用の教科書として使用できるフレキシビリティをもっている。

大学生のみならず、これから微積分を学びたい社会人にも独習のできる親切な教本としてもお勧めである。欲を言えば巻末に、2変量微積分の簡単な導入とε-δ方式の入門部分があれば、さらに上の学習をめざす読者の動機づけになるのではないかと思う。増補の際に検討いただきたく要望したい。

島 弘幸

島 弘幸(シマ ヒロユキ)

数理科学の手法を駆使して、生物・地球・物質をつなぐ新しい科学法則を探求しています。私たちを取り巻く自然は、とても複雑で絶えず変化していますが、数理の眼を通して見ると、そこにはシンプルで美しい法則がたくさん隠れていることがわかります。「複雑な」自然を司る「単純な」法則を、より深く・より広く理解したい。そういうワガママな想いを胸に抱えながら、日々個別の研究テーマに取り組んでいます。

略歴:
1999年8月 北海道大学大学院工学研究科 博士課程1年次 中退
1999年9月 北海道大学大学院工学研究科 助手
2007年4月 同研究科 助教
2009年9月 カタルーニャ工科大学(スペイン) 客員教授
2012年4月 山梨大学 大学院医学工学総合研究部 准教授
2019年10月 同大学 大学院総合研究部 教授

趣味:
食品サンプル集め、初めての街歩き

掲載日:2022/08/01

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