科学技術と共に歩む

私たちの生活でなじみ深い自然数という数（かず）は，ヒトの誕生そして進化する過程の中で，ものを数えるという行為や，順序・順番というと考え方とともに発生し，徐々に概念形成が行われたと考えられます。私たち漢字圏の生活の中では，一（1），十（10），百（10^2），千（10^3），万（10^4），億（10^8），兆（10^12），•••の漢数字が用いられています。知られている最大数は，恒河沙（こうがしゃ）（10^52），阿僧祇（あそうぎ）（10^56），那由他（なゆた）（10^60），不可思議（ふかしぎ）（10^64），無量大数（むりょうたいすう）（10^68）のほか諸説ありますが，無量大数です。この数（かず）という概念形成の過程で，数（すう）という抽象概念へと発展していたと考えられます。では，位取りには欠かせない0は，いつから使われるようになったのでしょうか。ゼロ「0」はインドで使われだしたというのが有力な説です。この0の発見により数学が爆発的に進歩したともいわれています。そして，0が，整数論の体系化に大きく寄与した記号と考えられます。

整数論の中で，その不思議さ・難しさ・神秘さがゆえに私たちを魅了し続けている数（かず）に6章で学ぶ素数があります。素数は，すでに古代ギリシャの数学者ユークリッドにより，無限個の存在が証明されています。さらに，素数を効率的に見つける方法は，古代ギリシャの数学者エラトステネスが考案したとされる「エラトステネスの篩（ふるい）」です。そして，素数の出現には規則性がないとされているため，いまだにエラトステネスの篩を上回る素数を見つける方法はないとされています。この素数が，現代の高度情報化社会の情報通信の安全性を根底から支える暗号に用いられています。インターネット上の情報は，暗号化することで安全に通信相手に送ることができるようになります。さまざまな暗号技術が考案されていますが，実用化されている暗号技術の中に，大きな二つの異なる素数を用いるRSA暗号があります。残念ながら，RSA暗号は未来永劫に安全な暗号技術とはいえません。いままさに新しい暗号技術の研究が進んでいます。しかし，安心してください，まだRSA暗号は安全とされています。

本書は，中学生レベルの整数の知識を基に整数論の基礎を理解しながら，RSA暗号の基礎となる考え方を学ぼうとする読者を想定してまとめてあります。数学科ではない学生は，整数の話題に興味はあるが難しいと感じている人も多いと思います。そのような人は，暗号に興味があるけれど，なにから始めてどのように学んだらよいかわからないと思います。学生ではなくても，RSA暗号を学びたいのになにから始めたらよいかわからない人も多くいると思います。RSA暗号を学ぶのにいきなり，合同式や素数に関する難しい定理や素数に関する難解な演算からスタートするのは避けたいものです。

本書でRSA暗号を学び始めるために最低限必要な数学の知識は，中学生までに学んだ整数の四則演算だけです。はじめに，1章においてRSA暗号の概要を学び，目的を明確にします。ここでは，RSA暗号の仕組みや特徴を学び，「なぜそのようなことが可能なのか」という疑問をもつことが大切です。読者の皆さんは，1章を終えた時点で，RSA暗号について理解できない部分があっても，まったく問題ありません。つぎに，2章から6章では，RSA暗号の理解に必要な整数論の各項目を学びます。ここでは，中学高校レベルの知識から始まり，徐々に新しい定理や知識を身に付けていきます。各項目とRSA暗号との関係は，目次の⋆の数で表してありますので，参考にしてください。RSA暗号の計算をできるようになるためには⋆⋆まで，RSA暗号の原理を理解したい場合は⋆⋆⋆までの知識が必要となります。最後の7章では，再びRSA暗号に戻り原理の理解と実践を目指します。6章までを修得していれば，1章では疑問だらけだったRSA暗号が，7章ではスラスラと計算でき原理も理解できるようになるはずです。

整数論とRSA暗号を学ぶためには，さまざまな定理を理解しなければなりません。重要あるいは必要な定理には，詳細な証明を載せるように心がけました。そして，それらの定理の使い方を学ぶために例題を用意してあります。例題には，わかりやすい解答過程を載せるようにしました。また，各章の章末には章全体の理解確認の問題を用意してあります。各章末問題の解答は，なるべく詳細に計算過程を載せるように心がけました。さらに，基本的な計算過程のほかに理解を補う別解法がある場合には，その過程も載せるようにしています。

本書の例題や章末問題などは，数式処理言語であるMathematicaを用いて計算することができます。興味のある人は，Mathematicaにも挑戦してみてください。

なお，本書は工学院大学情報学部の1年生共通科目として設置している情報数学および演習3の教科書としてまとめたものです。「情報数学および演習3」は講義と演習の2限連続×全7週のクォーター科目であり，本書は全14コマで扱う内容となっています。情報学部情報デザイン学科の設立のとき，基礎科目に整数論や暗号に関する授業がありませんでした。そこで，2009年に整数論の講義を開始し，2013年にはRSA暗号を追加しました。そして，2016年から情報学部全体の1年生基礎科目として，整数論の基礎とRSA暗号を学ぶ情報数学3が開始されました。これに伴い，TEXのjarticle形式からjbook形式に授業資料の充実を目指して再構築を開始しました。2019年には，充実化が終了したので出版準備に取り掛かりました。本書の校正にご協力をいただいた本学の非常勤講師の渡邉桂子先生には，わかりにくいところなどいろいろご意見をいただいたことに感謝いたします。

最後に，出版を快諾していただくとともにさまざまなコメントをいただいたコロナ社の皆さまに感謝いたします。

追記：2019年末ごろより，人知れず人への感染力を獲得してしまった「新型コロナウイルス（SARS coronavirus2（SARS-CoV-2））」が中国の武漢市を中心に出現しました。この新型コロナウイルス感染症（coronavirus disease（COVID-19））の患者数が，世界中で爆発的に増加しており，日本でもその増加の脅威が拡大しております。1日も早いこの感染症の終息を願い執筆を終了しました。そして，出版時には終息していることを願うばかりです。

2020年8月
長嶋祐二　福田一帆