わかる図形科学

わかる図形科学

理工系の学生を対象とした図学の入門的教科書

ジャンル
発行年月日
2022/05/06
判型
A5
ページ数
192ページ
ISBN
978-4-339-04677-9
わかる図形科学
在庫あり

定価

2,750(本体2,500円+税)

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本書は図学の入門的教科書であり,みなさんが技術者として備えるべき次の3つの学力の修得を学習目標としています.①平面図形から3次元物体の形状・寸法を読みとる「論理的思考力」を修得する.②平面図形から製品の3次元情報を構築する「空間認識力」を修得する.③図形の性質を解析幾何学と作図の二つの方法の連携によって理解する「図形理解力」を修得する.①によれば,物体から平面図形を作図できるようになり,逆に平面図形から物体の形状・寸法を読み取ることができるようになります.②によれば,平面図形に描かれた物体を構成する点,線,平面および立体間の幾何学的関係を読み解き,直線の実長などを測ることができるようになります.③によれば,2直線の平行・垂直などの図形の性質を理解するために,図形の方程式と,視覚・直感に訴える図形表現の二つの相補的な方法を操ることができるようになります.

本文中には25項目の『役立つポイント』を掲載し,演習問題・試験問題を解くときに役立つ投影図の基本的性質の要点をまとめました.付録のWebサイトには演習問題とその解答を用意し,図学の理解を深められるようにしました.

本書では,第1章「図学の基礎」から,第2章「平面図形」,第3章「正投影と主投影」,第4章「1次副投影」,第5章「直線」,第6章「平面」,第7章「高次副投影」の順に図学の基礎を学びます.第8章「直線と平面の関係」では,第7章までに学んだ主投影,1次副投影,高次副投影や本章で学ぶ切断平面法などの図学の技法を応用し,直線と平面の幾何学的関係として,「直線と平面の交点」,「平面と平面の交線」,「平面と平面がなす角」を解明する技法を学びます.第9章「平行と垂直」では,第8章までの図学の技法を総合し,「直線と直線」,「平面と平面」,「直線と平面」の平行と垂直,および,ねじれ2直線間の最短距離を導く技法を学びます.第10章「立体に関する相互関係(切断・相貫)」では,立体と平面との相互関係で用いられる「切断」と,立体と立体との相互関係で用いられる「相貫」を学びます.第11章「展開」では,立体・柱面・錐面の展開,曲面をもつ立体の展開を学び,展開図の作図手順を例題等によって修得します.

【著者からのメッセージ】
図学では直線と円弧の2つの作図だけが許されます.これにより,幾何学の証明問題の論証を積み重ねるように目的の作図を実行できます.ここに,「学問とは何をすることか」の答えがあります.作図を楽しみながらその答えを探してみてください.

図学は,図法幾何学(descriptive geometry)にその名の由来をもち,幾何学を学問的基盤としています。幾何学は,直角,平行などの図形の性質,例えば「円周上の任意の点と一つの直径の両端とを結ぶ直線はたがいに垂直である(円周角(タレス)の定理)」などの事柄を扱う数学の一分野です。図学は,18世紀フランスの建築・築城の技術振興に源流をもち,現代の機械製造の現場では製品の形状・寸法にこめられた設計者の意図を寸分たがわずに描き尽くし,2次元の図面から3次元情報を読みとる図式解法として発展しました。

わたしたちは,昔から着想やアイデアを絵図や図形として描きとめ,そのエッセンスを仲間にすみやかに伝える便利ツールとして重宝してきました。実用の現場では,機械部品や建築資材の形状・寸法の設計図面を担当者間で情報をやりとりする伝達手段として活用してきました。このような場面では,「見えるとおりに図を描く」ことと「物体形状を正確に紙の上に描く」ことは対極にありました。厳密にいうと,立体図形を平面上に正確に描くことは不可能なので,紙面の絵を立体的に見せるための遠近法などを活用し,見る人の立体想像力を借りて奥行き感を伝える技法が絵画などで取り入れられてきました。これに対し,機械製品を作る工場では,設計技師が描いた図面どおりに製品を作る必要があるので,図面には機械製品の寸法が寸分たがわず正確に描き尽くされていなければなりません。複雑な機械製品の形状を設計技師はどのように1枚の紙の上に表現するのでしょうか。

本書カバーの図は,立体図形の作図方法を示しており,底円の直径と高さが同じ直円錐(頂点と底円の中心を結ぶ直線が直角)の中央を円錐の高さの半分の直径の円柱が貫通しています。本書で学ぶ内容は,同図の立体の形状寸法を正確に表す三面図(正面図,平面図,側面図)の作図法につながります。円錐の三面図を描くのは簡単です。正面図と側面図は三角形,平面図は頂点を中心とした円になります。横たわっている円柱の三面図を描くのも簡単です。正面図と側面図は長方形,側面図は円になります。しかし,円柱が貫通した円錐の三面図を描くのは容易ではありません。円錐と円柱が交わるところが難しい曲線になり,この曲線の三面図を描くには立体的思考をフル稼働しなければなりません。このような作図は,物体を正しく三面図(本書では主投影図として説明)に描いたり,三面図から物体の形を読みとったりするための訓練として非常に役立ちます。機械工学などを学ぶ学生にとっては欠かせない演習科目の一つです。本書では,この作図法に至る図学の基礎を学びます。

本書は,主として理工系の大学初年次生を対象とする図学の入門的教科書です。図学を学ぶ目的として,つぎの三つの学習目標を掲げます。第1の学習目標は,3次元空間にある物体形状を幾何学の論理をもとに図学の作図法に従って2次元の紙面に表現し,またこれとは逆に紙面に描かれた平面図形から物体の形状・寸法を読みとる「論理的思考力」を身につけることです。第2の学習目標は,平面図形から3次元物体を構成する空間にある点,直線,平面および立体間の幾何学的関係と配置を読み解く実習を重ね,紙面上の図面から製品の3次元情報を構築する「空間認識力」を修得することです。そして,第3の学習目標は,図形の性質の理解に必要な異なる二つのアプローチ,すなわち,解析幾何学の図形の方程式を用いる数学的記述と,図形のスケッチを用いて視覚・直感に訴える表現の二つの相補的な方法を操る「図形理解力」を養うことです。

本書を執筆するにあたって著者が心がけたことは,基礎から応用,あるいは易から難に順をおって説明することです。図学の学問的基盤である幾何学を念頭において,図形のもつ表現力と図形から幾何学の論理を用いて図形情報を読み解き,また描きこむ図式解法を体験し,「図学は楽しい」と思っていただけたとしたら,本書の目的は達成できたといえます。第1章から第9章(およびWeb付録)を平野元久が担当し,第10章から第11章を吉田一朗が担当しました。

本書は,法政大学理工学部機械工学科で行った講義ノートを整理し,講義の際に学生・受講生から受けた有用な質問,コメントを参考にしてできあがったものです。本書の発行にあたっては,コロナ社には懇切丁寧なご意見・アドバイスを頂き,これなくしては本書の発行は成し得なかったといえます。

機械工学を学ぶうえで,また理工学全般の研究開発を進めるうえで,本書が読者に少しでも役立てば著者のこのうえない喜びであります。

2022年3月
平野元久

1. 図学の基礎
1.1 図学と幾何学
1.2 図形と図学
1.3 図学を学ぶ意義
1.4 作図の基礎
1.5 基本の作図題
章末問題

2. 平面図形
2.1 直線図形
 2.1.1 比例尺
 2.1.2 角のn等分
 2.1.3 三角形
 2.1.4 正五角形
 2.1.5 正n角形
2.2 円と円弧
2.3 円錐曲線(楕円・放物線・双曲線)
 2.3.1 円錐曲線の性質
 2.3.2 円錐曲線の解析幾何学による表現
 2.3.3 円錐曲線の作図
2.4 螺線と転跡線
 2.4.1 アルキメデス螺線
 2.4.2 対数螺線
 2.4.3 サイクロイド曲線
 2.4.4 インボリュート曲線
章末問題

3. 正投影と主投影
3.1 投影の基本
3.2 透視投影
3.3 正投影と主投影図
 3.3.1 正投影
 3.3.2 主投影図
 3.3.3 第一角法と第三角法
3.4 基準線
3.5 主投影図と視図
3.6 主投影図の配置と表記の規則
 3.6.1 主投影図の配置
 3.6.2 主投影図の表記の規則
3.7 主投影図の基本的性質
3.8 点の主投影図
3.9 直線の主投影図
 3.9.1 直線上にある点の投影
 3.9.2 交わる2直線の投影
3.10 かくれ線
章末問題

4. 1次副投影
4.1 平面図からの副投影(副立面図)
4.2 正面図からの副投影(副平面図)
4.3 側面図からの副投影(副側面図)
4.4 平面の端視図と実形
章末問題

5. 直線
5.1 直線の実長
5.2 主要な直線(主直線)
5.3 主投影面に傾く直線
5.4 特別な位置の直線
5.5 直線の点視図
5.6 直線上の点
章末問題

6. 平面
6.1 平面の表現
6.2 特別な位置の平面
6.3 平面上の点
6.4 平面上の直線
6.5 平面上の特別な直線
6.6 平面の端視図
章末問題

7. 高次副投影
7.12 次副投影図の作図
7.2 直線の点視図
7.3 平面の実形
章末問題

8. 直線と平面の関係
8.1 直線と平面の交点
 8.1.1 副投影による交点の作図
 8.1.2 切断平面による交点の作図
8.2 平面と平面の交線
 8.2.1 副投影による2平面の交線
 8.2.2 切断平面による2平面の交線
 8.2.3 複数の切断平面による複数平面の交線
8.3 平面と平面がなす角度
 8.3.1 二面角(2平面の交線が与えられている場合)
 8.3.2 二面角(2平面の交線が与えられていない場合)
 8.3.3 平面と主投影面との二面角
章末問題

9. 平行と垂直
9.1 平行な直線
9.2 平行な2平面
9.3 平面に平行な直線と直線に平行な平面
9.4 直交する直線
9.5 直線に垂直な平面
9.6 平面に垂直な直線
9.7 ねじれ2直線の共通垂線
 9.7.1 点視図を用いる方法
 9.7.2 一つの直線に平行な平面を用いる方法
 9.7.3 ねじれ2直線の水平最短距離
章末問題

10. 立体に関する相互関係(切断・相貫)
10.1 切断(平面と立体の相互関係・交わり)
10.2 相貫(立体と立体の相互関係・交わり)
章末問題

11. 展開
11.1 立体の展開(展開図)
11.2 柱面の展開
11.3 錐面の展開
11.4 曲面の近似展開
章末問題

参考文献
索引

読者モニターレビュー【 トウモロコシ 様(ご専門:理工系学生 )】

これまで製図の授業を履修した経験がない状態で読みましたが、三角定規を使った直線の引き方から学べる内容なので、集中して読み込めば初心者でも十分に作図のいろはを身につけられると感じました。また、一度でも製図の関係の授業を受けたことがある人なら復習にもなって読みやすいと思います。
本書の特徴として、例題の解説・説明が充実している、【役立つポイント】が分かりやすい、章末問題が多く回答もコロナ社のホームページで参照できる、などがあります。理工系の書籍は章末問題の解答や解説が省略されていることが多いですが、本書は作図が主題ということもあり、実際の解答図を見て学べる点は良いと思います。

読者モニターレビュー【もろ 様(ご専門:情報・電気電子系)】

本書は、3次元の立体を2次元の紙面に表現する方法を学ぶことができる。これは理工系の大学生を対象としているが、1章で作図の公法による作図の仕方、2章で平面図形を学習した後に3次元の立体の表現方法を学習するので、高校生でも気楽に取り組むことができると感じた。

本書の特徴は、簡潔かつ丁寧に書かれていることである。複雑な作図の場面では、その方法が順序立てて書かれており、そして重要な部分は役立つポイントとして四角で囲われているので大変わかりやすくなっている。また、例題が数多くあり自分の手を動かして学ぶことができる。さらに、各章末には章末問題がついており各章の理解度を確かめることができる。解答はコロナ社様の本書を紹介しているホームページにあるので、わからない場合は参照するとよい。加えて、そこにはユークリッド幾何学について簡潔に書かれているのであわせて読むことでさらに図形の理解を深めることができる。

作図を初めて学ぶ方や作図を楽しく学びたい方にぜひおすすめしたい一冊である。

平野 元久

平野 元久(ヒラノ モトヒサ)

専門は「トライボロジー」とよばれる摩擦の研究分野です.この用語は,「こすれる」を意味するギリシャ語の「tribos」から命名されました.エネルギーと環境の問題が人類の共通課題となっており,摩擦によるエネルギーロスの問題を再認識する経済政策キャンペーンの象徴として「tribos+logy=tribology」という造語が生まれました.私の研究室では,ミクロな原子レベルの摩擦と日常のマクロな摩擦を結びつけたい夢の課題について学生たちとワイワイガヤガヤと研究を楽しんでいます.2022年度には法政大学のホームページ上で,中高校生向けに研究室の紹介動画が「摩擦の謎と夢への挑戦」と題して公開されます.
出身大学の研究室では,材料の「超高圧物性」を研究しました.よく引用される例では,地球の中心近くの高温高圧力下でダイヤモンドが作られるとか,人工的にダイヤモンドを作って工具に使うなどに関する材料研究を学びました.一方,摩擦との長いつきあいが始まるのは,卒業後の就職先で人工衛星の開発チームに配属されたことがきっかけでした.当時,世の中は高度情報化社会(スマホもその一つ)に向かっており,「光ファイバーを全国の家庭に張りめぐらそう」のスローガンのもとに,産官学一体となって光通信網構築の大きな原動力がありました.静止軌道上の通信衛星も電話網・インタ―ネットを束ねた地球規模のネットワーク構築に一役かっていました.真空・日なたと日かげの温度変動・高エネルギー宇宙線の宇宙空間は機械の稼働にとって過酷な環境です.人工衛星のミッションを遂げるには,摩擦を小さく保つことが至上命令でした.
近代摩擦研究の源流は「18世紀産業革命」に遡ります.当時,機械の性能・信頼性向上が摩擦研究に求められました.砲身をくり抜くときに発生する熱の抑制制御の問題に対して懸賞論文がかけられたと聞きます.これに挑戦したのが電磁気学で有名なクーロンだそうです.一方,本来熱機関の効率向上の技術的要請が第一にあり,これが熱力学の発展の源泉となりました.熱力学はやがて熱の本性を説く学問として集成され,最近では地球温暖化問題に関わる地球規模の熱力学としてその役割の重要性を増しています.熱力学創成期に再び目を転じると,当時の物質の原子論への理解の深まりを背景として,熱力学の問題から量子論が誕生する成功がありました.これは,その後量子力学の学理構築と最近の量子コンピュータ開発に至る発展の道筋をたどることができます.
これに対し,摩擦研究はずいぶんとおくれをとり,基本法則の成立機構や「摩擦がどうして現れるのか」の根本問題も未解決のままです.この問題の研究の歴史は古く,レオナルド・ダ・ビンチの15世紀ルネサンス期の実験がはじまりとされています.後に,前出のクーロンや周波数単位のヘルツ,偉大な数学者・物理学者オイラーをはじめ,サイエンスのビッグネームが摩擦を調べました.しかし,その根本原因のすっきりした答えは見当たりませんでした.昔の人は,摩擦は表面のあらさのひっかかりから生ずると考えました.原子の存在が知られていない時代のことです.現代では,なめらかな表面同士が近づくと原子同士の影響が際立つために,大きな摩擦が現れると考えられています.なめらかな表面の方が摩擦は大きく観測されます.日常感覚と逆かもしれません.なごりが,初等力学の教科書に見られます.高校力学の問題では,摩擦のない面をなめらかな面,摩擦のある面をあらい面と説明されます.これとは真逆に,工業製品では摩擦がとても大きくなるなめらかな面に特段の注意を払います.宇宙空間の真空下ではなめらかなできれいな面同士はくっついて一体化してしまいます.静止摩擦係数が動摩擦係数より大きいことの疑問も解消されていないようです.原子レベルでのすっきりした説明が待たれます.
このように,摩擦問題にはいろいろな壁がいくつも立ちはだかっているのですが,最近の摩擦計測技術・材料合成技術の進歩を背景として,長さのスケールを超えていろいろな摩擦を知りたいと考えています.自然現象に対する見方についても,単純なルールから生まれる複雑さの発見など新しい視点も提案されています.原子レベルの摩擦研究では,ありがたいことに理論と実験を同じ土俵で直接対比できます.実験では,鋭い針先を不純物のない表面にそっと触れて静かにすべらせ理想状態の摩擦を調べられます.皮肉なこともあります.単純な理想摩擦を追い求めると全体像を見失います.摩擦は見方によって見え方が変わる曼荼羅のような対象に思えます.
このような混沌にあっても,ゆるぎないことがあると思います.図学の基盤であるユークリッド幾何学で示された真理探究の方法です.これによると,「同じものに等しいものはまた互いに等しい」とか「点から点へ直線が引ける」などの万人が共通して正しいと考える数項目の極めて単純な前提(公理)を出発点とします.そして,これを基礎として徹底した証明の積み重ねによって別の新しい事実の正しさを示す論証の連鎖が展開され,基本法則からいろいろな定理を導き出してまとめられた幾何学の学問体系が構築されました.この考え方は真理探究の方法としてその後の学問の科学的方法の規範となり,「学問とは何をすることか」の問いの解答を示しました.知りたい自然現象の対象が曼荼羅のように見方によって見え方が変わっても,見たい対象へのアプローチはユークリッド幾何学が規範となると思います.

吉田 一朗

吉田 一朗(ヨシダ イチロウ)

専門は,計測工学,データサイエンス,設計工学,生産工学,トライボロジーです。本研究室では,精密計測ロボットの研究や自動車の環境性能を向上させる表面凹凸の研究など,設計・デザイン工学,計測工学,データサイエンス,トライボロジー等を融合させた研究を行っています。
学生は,卒業研究や研究開発活動において,学んだことを実践し融合させる経験ができます。この経験で身につけた考え方や論理的思考力は,技術者としてだけではなく自身の人生にも役立つと考えています。学生さんには,『他者への貢献心と自己の満足の両輪がかみ合うと,研究だけでなく人生も有意義なものになります』と研究活動を通して伝えています。また,『在学中に、自分の為に夢中になった!誰かの役に立つ為に頑張った!生命や地球の為に熱くなった!という経験ができるよう一緒に頑張りましょう』ということも伝えています。

1976年生まれ。2003年4月~2006年3月,明治大学 理工学部 助手,2006年4月~2008年9月,科学技術振興機構 長岡技術科学大学 工学部 機械創造工学専攻 研究員,2008年10月~2016年3月,(株)小坂研究所 精密機器事業部 開発企画チーム 課長を経て,2016年4月より法政大学 理工学部 機械工学科 機械工学専修・航空操縦学専修 兼務。2018年4月に准教授,2019年4月に教授,2020年4月に学科長,2021年4月に法政大学大学院 機械工学専攻長となり,現在に至る。他に,東京大学 生産技術研究所 リサーチフェロー,中京大学 人工知能高等研究所 特任研究員,上智大学理工学部 共同研究員として在籍。研究分野は,設計工学・機械機能要素・トライボロジー,生産工学・加工学,機械力学・制御。ISO/TC213 国内委員会幹事および委員(国際エキスパート登録),JIS原案作成委員会委員,日本規格協会 規格開発エキスパート(認定資格)。精密工学会,日本機械学会,設計工学会,計測自動制御学会,に所属。㈱小坂研究所では,測定機校正用標準片,特殊粗さ解析用ソフトウェアの研究開発,表面粗さ及び真円度について日本初のISO 17025認定(JCSS登録)に主担当課長として貢献,光学式の表面性状測定用センサー:Crispyの研究開発,などの研究開発を担当。特許出願:13件(うち特許登録:5件)。

掲載日:2022/06/07

「日本機械学会誌」2022年6月号広告

Web付録は作成しだい随時更新いたします。

●公開済Web付録一覧(2022年4月4日 現在)

「あとがき」

「付録A 補足の章末問題」

「付録B 章末問題の解答」

「付録C ユークリッド幾何学」