科学技術と共に歩む

ヒトにとってコミュニケーションは，意思などを相手に伝えるための大切な手段です。通常，ヒトは音声によりコミュニケーションを取っています。普段何気なしに使っている言葉（言語）は，母音/a/，/i/，/u/，/e/，/o/，子音/k/，/s/，•••などの有限の音素と呼ばれる単位の組合せから無限の表現を生み出すことができます。楽譜から生み出されるオーケストラの奏でる音楽を想像してみてください。これも有限の記号から生み出される無限の音の世界です。では，数学はどうでしょうか？数学も有限の記号群で数式を構成して数学の深遠な無限の世界を構築しています。数学者やその卵である数学科の学生は，数式を私たちが何気なしに使っている言葉のように理解できるかもしれません。しかし，多くの人は，数式を見てもなかなかなにを表しているのか，現実世界ではどのような意味をもつかまでは理解するのが難しいのではないでしょうか。

そこで本書は，小学校で学んだ簡単な数列の知識から始まり，なだらかな稜線を辿り「フーリエ級数の計算」という名の双頭の一つ目の山頂を目指します。さらにもっと高みを目指したい読者のために，難解な「フーリエ級数の収束性」という基礎論の二つ目の頂上も用意してあります。すなわち本書は，片言の数学言語を駆使して，小学校で学んだ数列の概念から始まり，私たちの身の回りにあふれているさまざまな波を解析するのに必要となるフーリエ級数の基礎を学びたい読者を想定して構成しています。

本書を読み進めるために最低限必要な数学の知識は，小学生の頃の数列の考え方です。本書は5章で構成されています。はじめに，1章においてピアノの音をフーリエ解析することで，フーリエ級数が生活の中でどのように利用できるかの概要を学び，目的を明確にします。一つの応用例を通して，目指す一つ目の山頂の目標を明確にします。「なぜ基本的な波で表すことが可能なのか」という疑問をもつことが大切です。理解できない部分があっても，まったく問題ありません。そして1章では助走として数列の基礎も学びます。つぎに，2章では，高校までで学んだ数列の収束や発散について学びます。しかし，この章
では，のちの5.6節で学ぶフーリエ級数の収束性の証明に必要となる，あの身の毛もよだつε−δ論法が出てきます。でも安心してください，双頭の二つ目の山頂を目指さない人は，ななめ読みあるいは読み飛ばしても構いません。ε−δ論法やそれに続く上極限や下極限などは，数学を専門とする人以外は必要ないからです。3章では，フーリエ級数を理解するための基礎知識として，級数とその収束や発散を判定するための定理を学びます。4章では，フーリエ級数のための最後の準備として，べき級数，そしてテイラー展開やマクローリン展開を学びます。ここでは，級数が収束する領域を表す収束半径という概念も学びます。最後の5章では，フーリエ級数を学ぶときに必要な直交関数の概念を学び，仕上げとしてフーリエ級数へとつなげていきます。でも読者の中には，すぐにフーリエ級数を求めたいという人もいるかもしれません。その場合には，すべて読み飛ばして，5.4節を読み，そこの例題が解ければ十分かもしれません。

ここでは，小学校，中学そして高校レベルの知識へと段階的に進み，徐々に新しい定理や知識を身に付けていきます。各項目とフーリエ級数の計算・理解との関係は，目次の⋆の数で表してありますので，参考にしてください。フーリエ級数の計算をできるようになるためには⋆⋆まで，フーリエ級数の原理を理解したい場合は⋆⋆⋆までの知識が必要となります。そして，双頭の二つ目の山頂を目指すためには，⋆⋆⋆⋆⋆までの知識が必要となります。

級数論とフーリエ級数を学ぶためには，さまざまな定義や定理を理解しなければなりません。重要あるいは難解そうな定理には，詳細な証明を載せるように心がけました。そして，それらの定理の使い方を学ぶために例題を用意してあります。例題には，わかりやすい解答過程を載せるようにしました。また，各章の章末には章全体の理解確認の問題を用意してあります。各章末問題の解答は，なるべく詳細に計算過程を載せるように心がけました。さらに，基本的な計算過程のほかに理解を補う別解法がある場合には，その過程も載せるようにしています。

本書には，フーリエ級数による身の回りの波の解析としてピアノの音を扱っています。また，例題や問題には，図や動画を用いて説明しています。QRコードを付してありますので，ぜひ動画を見て理解を深めてください。これらの動画はすべて，数式処理言語であるMathematica12を用い，計算したり描画したり，そして動画ファイルを生成しています。興味のある人は，Mathematicaにも挑戦して，問題を解いてみてください。数式処理言語を通して，新たな視野が広がり，数学の楽しさの片鱗が見られるかもしれません。

なお，本書は先に出版した『基礎から学ぶ整数論—RSA暗号入門—』の姉妹本です。『基礎から学ぶ整数論』が工学院大学情報学部の1年生共通科目として設置している「情報数学および演習3」の教科書としてまとめたものでした。本書は，そのつぎのクォータに設置されている「情報数学および演習4」の講義と演習の2コマ連続×全7週のクォーター科目の全14コマで扱う内容となっています。実験科目などでは，波形解析はあるものの，その基礎となる講義科目はありませんでした。そこで，2009年に級数論の講義を開始し，フーリエ級数までを教えることになりました。そして，2016年から情報学部全体の1年生基礎科目となり，2020年には，フーリエ級数の収束とその関連知識を追加して，出版準備に取り掛かりました。

本書の校正にご協力をいただいた本学の非常勤講師の渡邉桂子先生，三浦章先生には，わかりにくいところなどいろいろご意見をいただいたことに感謝いたします。また，2020年には，情報数学4に新たなメンバーが入りました。その一人の本学の教育推進機構・数学科の齋藤正顕先生には，数学的な視点でいろいろチェックをしていただき感謝いたします。また，情報学部情報デザイン学科の高橋義典先生には，わかりにくい個所などのコメントをいただき感謝いたします。

最後に，出版を快諾していただくとともにさまざまなコメントをいただいたコロナ社の皆さまに感謝いたします。

2021年9月
長嶋祐二，福田一帆

（QRコードは(株)デンソーウェーブの登録商標です）