科学技術と共に歩む

本書では，2状態から多状態に至るシステムの信頼性に関する順序集合論的および確率論的な議論を概観する．

2状態システムではシステムおよび部品の状態として故障と正常のみを考え，システムの状態は部品の状態の組合せによって一意に定まるとされる．部品やシステムのそれぞれの状態空間は必然的にブール束になり，確率論的な議論は寿命分布関数によるものになる．このような枠組みでの議論は1950年代から始まり，おおよそ1980年代までの間に多くの研究者達によってなされてきた．2状態システムについての議論はほぼ収束し，その研究成果はBarlow andProschan4), 7)にまとめられており，故障木解析（fault tree analysis，FTA）や安全・リスク解析などの信頼性解析手法の基盤をなしている．

一方で，圧力や温度を考えるまでもなく，部品やシステムの状態が2状態のみであることはなく，劣化状態を含めさまざまな状態があり得る．多状態システムについての議論は，1980年代に始まり多くの研究がなされている．Lisnianski and Levitin60)，Lisnianski, Frenkel and Ding61)，Natvig67) のような実践的な立場からの書籍も出版されているが，理論としての体系化には未だ至っていない．

本書では，2状態システムでのさまざまな概念を拡張する立場で，部品およびシステムの状態空間を全順序集合とした場合の議論を紹介する．状態空間が半順序集合の場合についてはその必要性を示唆し，最近の論文を紹介するにとどめる．

2章で見られるように，2状態システムの理論においては極小パス集合（minimal path set）と極小カット集合（minimal cut set）が根幹的な役割を果たす．FTAはこのことに対する一つの根拠を与える．FTAは，多数の要素からなる複雑なシステムの故障や不具合事象（トップ事象と呼ばれるが）の原因を探し出すためのトップダウン的で実践的な手法であるが，このトップ事象に対する極小カット集合を最終的に与える．極小カット集合は，トップ事象を発生させるために必要な部品の事象の極小的な組合せであり，極小パス集合は極小カット集合に双対的な関係にある．極小カット集合や極小パス集合は，それぞれシステムに内在する並列システムや直列システムを定義し，システムの構造はこれらの直列または並列システムから再構成される．このことから，直列システムや並列システムなどの基本的なシステムによるシステムの分解と統合の観点が重要であり，確率的な信頼性評価方法の多くがこのような分解に依拠する．

本書の構成は以下のとおりである．信頼性理論では，順序集合論的な概念が，構造的および確率論的な議論の至るところでさまざまに姿を変えながら，基本的な道具として用いられる．1章では本書で用いる順序に関する基本的な概念を解説する．また信頼性理論に特有の状態ベクトルに対する切貼り的な操作について説明する．さらに統計的な正の相関性の概念の一つであるアソシエイション（association）を紹介する．これは，上記の直列システムまたは並列システムへの分解と統合を用いたシステムの信頼性評価において，重要な役割を果たす．2章では，信頼性理論において最も基本的である，2状態単調システムの順序集合論的および確率論的な議論を紹介する．2状態単調システムの構造は，極小パスベクトルあるいは極小カットベクトルから一意に決まる．このことは，2状態システムの信頼性を議論する際の基盤をなす．

実際的なシステムはモジュールの階層的な積上げで構成され，部品がむき出しの形で組み上げられているわけではない．この意味で，モジュール分解とそれを介したシステムの信頼性に関する議論は重要である．2章ではモジュールについての議論を紹介し，信頼性評価をモジュールの階層構造に従って積み上げることで，よりよい評価が得られることを証明する．

3章はエージング（aging）の概念を扱う．IFR（increaing failure rate）性はよく知られているエージングの一つであり直感的に理解しやすいが，システムの性質として考えた場合，むしろIFRA（increasing failure rate average）性が重要であり中心的な位置を占める．これに対して，IFR性は直列システムに密接に関係する．さらにシステムの寿命分布が指数分布であるとき，システムの構造は直列に限定されるだけでなく，部品の寿命分布も指数分布に限定される．これらのことについて，他のエージングの概念とともに3章で詳説する．3章では，ショックモデルについてもふれる．ショックモデルは，環境からのストレスとそれに対するシステムの耐性の二つの要素から構成されるが，この耐性がもつ離散的な分布関数としてのエージング性が，システムの寿命分布関数のエージング性に反映される．さらに，IFRA性がさまざまな確率過程の初期通過時間の性質として現れることから，そのいく分技巧的な定義にかかわらず自然な性質であることを示す．3章では，さらに，これらのエージングの概念を多変量の場合に拡張する．

4章，5章では2章，3章での議論を多状態に拡張する．多状態システムの順序集合論的な議論は4章で，信頼性評価方法とエージングの議論は5章で示される．2状態システムでの議論は，状態空間が二つの要素からなることからスムーズである．本書では状態空間を全順序集合とするが，比較的扱いやすいこのような場合でも，例えば，直列システムや並列システムの定義など，2状態では素朴に考えておけばよかったさまざまな概念が改めて問い直される．5章では，多状態システムの確率過程論的な議論を行う．エージング性については2状態の場合と同様にIFRA性が重要であり，IFR閉包の成立はシステムの構造を直列システムに限定することが示される．

6章では2状態システムにおける部品の重要度について，7章では6章の議論を拡張し，多状態システムでの重要度について述べる．部品の重要度は，システムにおいてその部品がどの程度重要であるかの指標である．Birnbaum重要度を基本とし，これから派生してくるいくつかの重要度が提案されており，システムの安全・リスク解析などに応用される．Birnbaum重要度は臨界状態ベクトルによって定義される．本書では，この臨界状態ベクトルを極小カットおよび極小パスベクトルから得るためのアルゴリズムを示し，さらに実際によく見られる構造である直・並列システムにおける一連の重要度の相互関係について議論する．

最後に，状態空間が半順序の場合の理論構築が求められることを簡単な例によって示唆し，その際のシステムの定義を作業仮説として与える．さらに，このような多状態システムのモデルが実際の多層的なネットワークのモデルになり得るとともに，さらに拡張が必要であることについてもふれる．レリバント（relevant）とアソシエイト（associate）の訳語について述べておく．いずれも「関係する」，「関連する」といった意味であるが，本書ではそれぞれの読みであるレリバントとアソシエイトを用いる．レリバントは部品に関する概念であり，システムの機能においてその部品を外せないことを意味し，その度合いが重要度の概念につながる．日本語の「関係する」や「関連する」といったイメージではなく，適切な日本語が見当たらないため，そのままの読みを用いることとした．

アソシエイトは確率変数間の相関性を意味する．二つの確率変数の場合，XとYがアソシエイトであるとは，任意の単調増加な関数fとgに対して，Cov[f(X,Y), g(X,Y)] >=0であるとして定義され，単純ではない正の相関性を意味する．Cov[f(X),g(Y)] >=0の場合を考えてみる．単調増加な関数fとgの選択によって，確率変数XとYの任意の部分を拡大・縮小できる．上の不等号関係は，それぞれの確率変数をどのように拡大・縮小してもそれらの間に正の相関があることを意味する．アソシエイトは，正の相関性が，XとYから単調増加関数によって生成されるどのような確率変数についても成立することを要請しており，XとYの多様な正の相互依存関係をイメージさせ，適切な訳語を見出せない．このため，本書ではレリバントと同様にその読みを用いることとした．本書では，一般的に順序集合上の確率についてアソシエイトを定義する．
広島大学の土肥正教授には本書執筆の機会をいただきました．ここに深く感謝致します．
2019年10月　著者