科学技術と共に歩む

本書は，流れを解くための方程式の離散化に用いられる差分法と有限要素法の基礎を解説したものである。ただし，書名の示すとおり，有限要素法の解説に重きを置いている。本書の原型は，著者の研究室に配属された学部4年生が予備知識を必要としないで差分法と有限要素法の基礎を習得できるように作成した講義ノートであり，本書はそれを大幅に加筆したものとなっている。著者が担当する大学の講義で心がけていることは，重要な式を導出する際に，その行間を省くことなく（ごまかすことなく），丁寧に解説することである。それは，理系のどの分野においても「何となくわかった気がする」といった曖昧な知識を溜め込むことが最も危険であることを知っているからである。言うまでもなく，そのような「知識」は研究や開発の現場では何の役にも立たない。

このような考えに基づいて，流れの問題に適用される差分法と有限要素法のなかでも基礎的・基本的な内容を選定し（例えば，非線形問題では非圧縮性流れに限定し），類書で説明が不足している箇所に注意しながら本書を執筆した。本のページをめくってみると式の数が多い印象を受けるかもしれないが，それはこの本が難解であることを意味するものではなく，実際に読み進めていけば，むしろその逆であることがわかるだろう。それは，ある式を用いて他の式を導出する際の過程を，より多くの情報（すなわち，式と式の間を埋める補完的役割を果たす式）を伴って明確に示しているためである。付録では，本文で示したいくつかの重要な式の導出の過程を，複数のページにわたって詳細に記している。式中にベクトルやテンソルを含む場合は，必要に応じて添字を用いた演算法を採用して目的とする式を導いている。

本書のもう一つの特徴は，非圧縮性流れの解法（4章）において，HSMAC法の技術を有限要素法に応用したGSMAC法を，さらに改良した手法について記述している点である。具体的には次のような内容を含んでいる。

1.　9節点四角形要素（あるいはQ2–Q1要素）を用いた離散化
2.　数値積分の結果とほぼ一致する結果を与える要素内積分の簡易計算法
3.　速度と圧力の同時緩和法の収束性を大きく向上させた手法

上記2，3は著者が独自に考案したものであるため，他書では解説されていない。

本書は，離散化法について言えば，1章が差分法，2～4章が有限要素法の構成になっている。有限要素法だけに興味がある読者は2章から読み始めても差し支えないが，できれば1章からじっくりと読み進めていただくと，離散化に対する理解を深めることができる（2章以降も差分法を部分的に用いることも付け加えておく）。1章と2章には，例題の形で1次元問題の数値計算例を多く示した。3章の最後の例題では，2次元問題の数値計算例も示している。それらの結果は簡単なプログラムを組んで計算することにより得られるので，プログラミングの練習も兼ねて確かめてみるとよい。例題で指定した初期条件やパラメータの値を変更して，自分だけの例題を作成してみるのもおもしろいだろう。

本書を手に取った人はご存知と思うが，流れ問題に適用される差分法や有限要素法の基礎を解説した本は既に数多く出版されている。そのため，教科書的な「綺麗にまとまっている」本を書くつもりはなく（既にそのような本はたくさんある），他書が説明を避けているような，根拠が不明瞭と思われる内容も積極的に記した。それらの内容は著者が熟慮の末に導き出したものであるが，著者の浅学のために思い違いをしている箇所があるかもしれない。そのような場合は，読者からのご指摘をいただいて改善していきたいと思っている。

近年は商用コードやオープンソースを用いて計算を行うことが一般的になりつつあり，自らプログラムを作成して計算結果を示すほうが珍しくなってきた。

「商用コードがあるのであれば，なぜ自作のプログラムにこだわるのか」という意見もあるだろう。しかし，世界的にはまだ新規の数値解析手法の開発が盛んに行われており，その成果を掲載する評価の高い海外学術雑誌も数多く挙げることができる。もし，現状が商用コード等であらゆる現象が解ける段階であるのならば，そのような学術雑誌は即廃刊になるはずである。しかし現実はそうではなく，既存の技術では満足に計算することができない物理現象はいまだ数多く存在する。日本の研究者は，概して，海外の著名な研究者が開発した手法を理解して，それをいくらか発展させることには長けているが，本当の意味で「零から一を生み出した」といえるような手法を自ら開発できる人は少ない。それを実現するためには，基礎の徹底した理解がまず必要だと確信している。これから数値計算法を学ぶ若い研究者がいずれ“Made in Japan”と呼べる新手法を開発することができるように，そのための基礎的な能力を身に付けてもらうための書となるように，限られた範囲内ではあるが著者のこれまでの経験と知識を注ぎ込んだ本を執筆したつもりである。

数値流体力学に関連する著者の研究は，慶應義塾大学の棚橋隆彦先生（現名誉教授）の研究室に入ったときから始まった。4年間，この分野に関するご指導をいただいた恩師である棚橋先生をはじめ，有限要素法に関する著者の知識の幅を広げてくださった棚橋研究室の諸氏に心から謝意を表します。また，素稿の段階で，例題のいくつかに取り組んでそれらの解答をチェックしていただいた河野研究室の大学院生の牟禮良晃氏，著者の度重なる日本語の質問に的確に答えていただいた妻の河野彩子，著者の構想（と稚拙なスケッチ）を基に素晴らしいカバーイラストを描いてくださった高宮ミンディ氏に感謝いたします。

そして，本書が企画されてから当初の予定をはるかに越える年月を要することとなったが，その間も多大なご配慮を賜り，原稿の細かい部分まで確認していただいたコロナ社に厚く御礼申し上げます。

2021年11月
河野晴彦