科学技術と共に歩む

第1章　確率論の基礎知識
1.　確率変数・確率分布・平均
　1・1　抽象的確率論の基礎知識
　　　事象/確率の定義/結合事象の確率
　1・2　確率変数・確率分布
　　　確率変数/2次元確率変数/条件付確率/確率変数の変換/確率変数の和の確率分布/多次元確率変数
　1・3　確率変数の平均
　　　平均/モーメント/2次元量の平均/相関行列/複素確率変数
2.　特性関数・モーメント母関数・キュムラント
　2・1　特性関数
　2・2　モーメント母関数
　2・3　キュムラント
　　　1変数キュムラント/多変数キュムラント
3.　代表的な確率変数
　3・1　Gauss確率変数
　　　Gauss変数/独立Gauss変数の和/2次元Gauss変数/Rayleigh分布/複素Gauss変数/N次元Gauss変数/多次元Gauss変数の　　　モーメント
　3・2　Poisson確率変数
　　　Poisson変数/Poisson変数のモーメント/独立Poisson変数の和
　3・3　2項変数と極限分布2項変数/De Moivre-Laplaceの極限定理/Poissonの極限定理
4.　確率密度関数の近似表現
　4・1　Hermite多項式
　　　Hermite多項式/多次元のHermite多項式
　4・2　Gram-Charlier展開
　　　確率密度を重みとする直交多項式/確率密度関数の直交展開/Gram-Charlier展開/準モーメントとGram-Charlier展開
　　　多次元Gram-Charlier展開
　4・3　Charlier多項式と離散的確率分布のCharlier展開
　　　Charlier多項式/離散的確率分布のCharlier展開
5.　確率変数列の収束
　　概収束/確率収束/平均収束/分布収束/独立変数の和/Gauss変数列
6.　大数の法則、中心極限定理
　6・1　大数の法則
　6・2　中心極限定理
第2章　確率過程の基礎概念
7.　確率過程の概念
　7・1　確率系列・確率過程の定義
　7・2　モーメント関数/キュムラント関数
　7・3　確率過程の連続性と微分
　7・4　確率過程の一般化
8.　2次過程
　8・1　2次過程の定義
　8・2　相関関数・連続性
　　　相関関数の性質/2次過程の連続性
　8・3　2次過程のつくる線形空間
　8・4　2次過程の微分と積分
　　　q.m. 微分/q.m. 積分/q.m. Stieltjes 積分
　8・5　Karhunen-Loeve展開
　8・6　白色雑音・直交増分過程・ランダム測定
　8・7　雑音積分・確率積分
　　　雑音積分/確率積分/無相関変数列
　8・8　確率積分による2次過程の表現
　8・9　2次過程の線形変換
9.　代表的な確率過程の例
　9・1　Gauss過程
　　　Gauss過程/Wiener 過程（Browm運動過程）/Wiener積分/見本関数の連続性/見本関数の汎関数
　9・2　Poisson過程
　　　Poisson過程/白色雑音/確率積分/ショットノイズとCampbellの定理/ランダム電信過程
第3章　定常過程
10.　定常過程の定義・相関関数
　10・1　定常過程の定義
　　　　強定常過程/弱定常過程
　10・2　定常過程の相関関数
　　　　相関関数の性質/定常過程の連続性と微分/多次元定常過程/相関関数の例/相関関数行列の例/複素定常過程/特別な
　　　　複素定常過程/ランダム周波数変調波の相関関数
11.　定常過程のつくる線形空間と移動変換
　　　線形空間Lｘ2［Ω］/X(t)から導かれる定常過程
12.　相関関数のスペクトル表現
　　　スペクトル密度/スペクトル密度の非負値性/相関関数のスペクトル表現/スペクトルの表現の例/スペクトル密度の例
　　　ランダム周波数変調波のスペクトル密度
13.　定常過程のスペクトル表現
　　　形式的スペクトル表現/確率積分への書換え/ランダムスペクトル測度/スペクトル表現/実形式のスペクトル表現/
　　　離散スペクトルの定常過程/連続スペクトルの定常過程/Fourier級数による表現/ランダム位相による表現/非定常
　　　過程の調和分解定理
14.　多次元定常過程のスペクトル表現
　　　M次元定常過程/相関関数行列のスペクトル表現/M次元定常過程のスペクトル表現/ベクトル形式のスペクトル表現/
　　　2次元定常過程/狭帯域定常過程
15.　定常過程の線形変換
　　積分変換/フィルタ・スペクトル表現/因果性フィルタ/低域通過フィルタ/微分演算/多次元定常過程の線形変換
16.　定常過程の移動平均表現
　　　移動平均/白色雑音のFourier変換/確率積分の表現の変換/移動平均のスペクトル表現/片側移動平均/移動平均の線形　　　変換/多次元移動平均/Ｍ次元移動平均の線形独立性
17.　確率微分方程式から導かれる定常過程
　17・1　定常過程によって励振される微分方程式
　　　　微分方程式/Green関数/定常過程の解/一般解/Green関数による解/スペクトル表現による解/Green関数の一般形/
　　　　Green関数の積分表示/共鳴現象（定常過程の解が存在しない例）
　17・2　白色雑音によって励振される微分方程式
　　　　Langevin 方程式/Ornstein-Uhlenbeck過程/片側移動平均/2重特性根の場合/両側移動平均/連立確率微分方程式
18.　定常系列
　　　定常係列/Xnのつくる線形空間と移動変換/相関関数のスペクトル表現/定常系列のスペクトル表現/定常過程の標本
　　　化系列/定常系列の線形変換/白色雑音/移動平均/確率差分方程式/Langevin方程式の近似/相関のある乱数の発生法
19.　周期定常過程
　　　周期定常性/相関関数のスペクトル表現/周期定常過程のスペクトル表現/平均強度/標本系列/定常系列から導かれる　　　周期定常過程/画像走査信号
20.　エルゴード定理・スペクトル密度の推定
　　　平均値のエルゴード定理/相関関数のエルゴード定理/スペクトル密度の推定/ペリオドグラムの性質
21.　強定常過程の移動変換とエルゴード性
　　　強定常過程からつくられる確率変数/強定常過程の移動変換/強定常過程のエルゴード性
22.　定常過程の一般化、一様確率場・一様等方確率場
　　　一様確率場/一様等方確率場/一様等方ベクトル確率場　
第4章　推定・予測理論
23.　推定問題と2乗平均推定
　　　推定問題/2乗平均推定
24.　線形2乗平均推定ー有限個のデーター
　　　線形2乗平均推定と直交原理/Gauss変数の2乗平均推定/予測/広義Markov過程/内そう
25.　線形2乗平均推定ー連続パラメータのデーター
　　　直交原理/積分方程式/ろ波/予測
26.　定常系列の予測理論
　26・1　予測スペクトル理論ー有限個のデーター
　26・2　予測スペクトル理論ー無限個のデーター
　　　　最小2乗平均誤差/予測理論によるスペクトル密度の推定
　26・3　イノベーション系列と移動平均表現
　　　　イノベーション系列/イノベーション系列のスペクトル表現/片側移動平均
　26・4　予測公式
　　　　移動平均による予測公式/スペクトル表現による予測公式/データによる予測公式/定常系列の決定性と非決定性
　26・5　スペクトル密度の因子分解
　26・6　定常系列の予測の例
　　　　Markov系列/m重Markov系列（自己回帰形スペクトル）/有理形スペクトル
　27.　定常過程の予測理論
　27・1　定常過程の予測問題
　27・2　スペクトル密度の因子分解
　27・3　イノベーション過程と片側移動平均
　27・4　予測公式
　　　　移動平均による予測公式/スペクトル表現による予測公式/データによる予測公式
　27・5　定常過程の予測の例
　　　　Markov過程/多重Markov過程/有理形スペクトル/決定的定常過程
第5章　Gauss過程の非線形理論
28.　多変数Hermite多項式
　　　定義/表式/直交展開/多変数Hermite多項式の一般化/多変数複素Hermite多項式
29.　独立Gauss系列の汎関数と直交展開
　　　Gauss変数からつくられる直交多項式/独立Gauss系列のHermite多項式汎関数/変換性/独立Gauss系列の汎関数の直交
　　　展開/Gauss白色雑音から導かれる強定常系列
30.　多重Wiener積分・Wiener-Hermite汎関数
　　　Brown運動の汎関数/Wiener-Hermite微分式/多重Wiener積分/例
31.　複素多重Wiener積分・複素Wiener-Hermite汎関数
　　　複素Gaussランダム測度/複素Wiener-Hermite微分式/複素多重Wiener積分
32.　Brown運動の汎関数の直交展開・Wiener-Hermite展開
　　　多重Wiener積分の表現の変換/Brown運動のL2-汎関数の直交展開/Brown運動の移動変換/Brown
運動から導かれる
　　　強定常過程/例/ランダム周波数変調波/Brown運動過程のエルゴード性/定常Gauss過程の汎関数とエルゴード性
33.　Brown運動から導かれる非定常過程の表現
　　　非定常過程の表現I/一般化した移動変換/非定常過程の表現2/強定常過程を係数とする確率微分方程式
付録
A1.　Hilbert空間の基礎知識
　A 1・1　Hilbert空間の定義
　A 1・2　Hilbert空間の例
　A　1・3　直交展開
　A　1・4　線形作用素
A2.　Fourier積分・Fourier変換
　　　L1- Fourier変換/Fourier-Stieltjes変換/L2-Fourier変換
A3.　対称核積分方程式
　　　固有値積分方程式/ Hilbert-Schmidtの定理/Mercerの定理
参考書
索引