科学技術と共に歩む

．　フーリエ級数展開
　1.1　フーリエ級数の起源、定義
　　1.1.1　一次元の熱伝導方程式
　　1.1.2　変数分離法
　　1.1.3　重ね合わせの原理（線形結合）
　　1.1.4　級数展開
　　1.1.5　複素フーリエ級数
　　1.1.6　最小誤差近似関数
　1.2　二、三の初等関数のフーリエ級数展開
　　1.2.1　フーリエ級数展開
　　1.2.2　フーリエ級数の例
２．　フーリエ級数の収束
　2.1　ギッブスの現象、部分和のディリクレ表示
　　2.1.1　ギッブスの現象
　　2.1.2　フェイェールの定理
　2.2　有界変動の関数の概念と二、三の性質
　　2.2.1　有界変動の関数の定義
　　2.2.2　有界変動の関数の概念
　　2.2.3　有界変動関数の例：曲線の長さ
　　2.2.4　スチュルチェス積分
　2.3　アーベルの定理と第２平均値の定理
　　2.3.1　アーベルの級数変形法
　　2.3.2　積分法の第２平均値定理
　2.4　リーマン・ルベーグの定理、フーリエ級数の収束
　　2.4.1　リーマン・ルベーグの定理
　　2.4.2　フーリエ級数の収束定理
　　2.4.3　ディリクレ・ジョルダンの定理
３．　フーリエ変換
　3.1　フーリエ積分への移行、フーリエ変換
　　3.1.1　フーリエの積分公式
　　3.1.2　フーリエ変換
　　3.1.3　フーリエ変換の基本的性質
　3.2　デルタ関数、誤差関数のフーリエ積分表示
　　3.2.1　フーリエ変換のいくつかの例
　　3.2.2　デルタ関数
　　3.2.3　たたみ込み
　3.3　直交関数系、パーシバルの関係、ベッセル不等式
　　3.3.1　関数の直交性
　　3.3.2　任意関数の直交化
　　3.3.3　ベッセルの不等式
　　3.3.4　パーシバルの等式
　　3.3.5　フーリエ変換への拡張
　　3.3.6　フーリエ変換を用いた常微分方程式の解法例
４．　ラプラス変換
　4.1　関数のラプラス変換
　　4.1.1　ラプラス変換の例
　　4.1.2　ラプラス変換の性質と応用
　4.2　線形微分方程式のラプラス変換
　　4.2.1　ラプラス変換を用いた線形微分方程式解法の原形
　　4.2.2　簡単な定理とその応用例
　　4.2.3　ラプラス変換のコンボリューション定理
５．　偏微分方程式への応用
　5.1　波動方程式のダランベール解
　　5.1.1　一次元の波動方程式
　　5.1.2　フーリエ変換を用いた一次元の波動方程式の解法
　　5.1.3　二次元の波動方程式
　5.2　熱伝導方程式の基本解
　　5.2.1　熱伝導方程式
　　5.2.2　三次元の熱伝導方程式
　　5.2.3　フーリエ変換による解法
　　5.2.4　グリーン関数
　5.3　ラプラス変換を用いた解の求め方
　　5.3.1　ラプラス反転公式
　　5.3.2　温度分布や熱の流れに対する熱伝導方程式の解
６．　ガンマ関数、ベータ関数
　6.1　実変数のガンマ関数、ベータ関数
　　6.1.1　ガンマ関数の定義
　　6.1.2　変型
　　6.1.3　ガンマ関数とベータ関数との関係
　　6.1.4　ガンマ関数の公式
　6.2　複素変数のガンマ関数
　　6.2.1　定義域の拡張
　　6.2.2　オイラーの公式
　　6.2.3　ワイアストラースの公式
　　6.2.4　ガンマ関数の正則性と微係数
　　6.2.5　ガンマ関数のハンケル表示
７．　ベッセル関数
　7.1　ベッセルの微分方程式
　　7.1.1　第一種ベッセル関数
　　7.1.2　第二種ベッセル関数
　　7.1.3　第一種ベッセル関数の漸化式
　　7.1.4　第二種ベッセル関数の漸化式
　7.2　微分方程式の標準形
　　7.2.1　２階線形微分方程式
　　7.2.2　スツルムの比較定理
　　7.2.3　ベッセル関数の零点
　7.3　ベッセル関数の積分表示
　　7.3.1　第一種ベッセル関数の積分表示
　　7.3.2　ハンケルの積分変換
　　7.3.3　ベッセル関数の複素積分による表示
　　7.3.4　８字形積分路
　　7.3.5　Ｕ字形積分路
　　7.3.6　ハンケル関数
８．　ルジャンドル関数
　8.1　ルジャンドルの微分方程式
　　8.1.1　ルジャンドル多項式の母関数
　　8.1.2　ルジャンドルの微分方程式
　　8.1.3　ロドリーグの公式
　8.2　ルジャンドル関数の級数解
　　8.2.1　ルジャンドル方程式の級数解と収束域
　　8.2.2　ルジャンドル関数の対数的特異点
　8.3　ルジャンドル関数の積分表示
　　8.3.1　シュレーフリの積分
　　8.3.1　ルジャンドル陪関数
９．　常微分方程式への応用
　9.1　常微分方程式の級数解法
　　9.1.1　摂動近似法
　　9.1.2　接続公式
　9.2　ラプラス方程式の円柱、球座標での表示
　　9.2.1　球座表でのラプラス方程式
　　9.2.2　薄い球穀のポテンシャル
　　9.2.3　薄い円板のポテンシャル
　9.3　波動方程式の円柱、球座標での表示
　　9.3.1　波動方程式
　　9.3.2　円筒による波の散乱
　9.4　定常温度分布
　　9.4.1　熱伝導の基礎方程式
　　9.4.2　ボルツマン方程式
　参考文献
　索引