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書籍詳細

  精度保証付き数値計算の基礎

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大石進一 早大教授 工博 編著

荻田武史 東京女子大教授 博士(情報科学) 著

柏木雅英 早大教授 博士(工学) 著

劉雪峰 新潟大准教授 博士(数理科学) 著

尾崎克久 芝浦工大准教授 博士(工学) 著

山中脩也 明星大准教授 博士(工学) 著

高安亮紀 筑波大助教 博士(理学) 著

関根晃太 東洋大助教 博士(工学) 著

木村拓馬 佐賀大准教授 博士(理学) 著

市原一裕 日大教授 博士(理学) 著

正井秀俊 東北大助教 博士(理学) 著

森倉悠介 帝京平成大助教 博士(工学) 著

Siegfried M. Rump ハンブルク工科大教授 Ph.D. 著

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発行年月日:2018/07/26 , 判 型: A5,  ページ数:328頁

ISBN:978-4-339-02887-4,  定 価:4,860円 (本体4,500円+税)

ジャンル:

数値計算の誤差を完全に把握する数値計算(「精度保証付き数値計算」)が重要となる局面は非常に多くなりつつある。本書は今までの成果をもとに,現在における精度保証付き数値計算の基礎となる事項を体系的にまとめたものである。

【目次】

序論

1. 浮動小数点演算と区間演算
1.1 浮動小数点演算
 1.1.1 浮動小数点数
序論

1. 浮動小数点演算と区間演算
1.1 浮動小数点演算
 1.1.1 浮動小数点数
 1.1.2 浮動小数点演算
1.2 区間演算
 1.2.1 区間
 1.2.2 区間演算
 1.2.3 機械区間演算
 1.2.4 無限区間における例外処理
章末問題

2. 丸め誤差解析と高精度計算
2.1 丸め誤差解析
 2.1.1 総和に対する誤差解析
 2.1.2 内積に対する誤差解析
 2.1.3 後退誤差解析
2.2 エラーフリー変換
 2.2.1 和と差に関するエラーフリー変換
 2.2.2 浮動小数点数の積
2.3 ベクトルの総和や内積の高精度計算
 2.3.1 高精度演算を実現するアルゴリズム
 2.3.2 計算結果が高精度になるアルゴリズム
章末問題

3. 数値線形代数における精度保証
3.1 準備
 3.1.1 ベクトルノルムと行列ノルム
 3.1.2 特別な行列
3.2 区間行列積
 3.2.1 高速な区間行列積
 3.2.2 区間行列積のさらなる高速化
3.3 連立1次方程式
 3.3.1 ガウスの消去法とLU分解
 3.3.2 コレスキー分解
 3.3.3 反復改良法
 3.3.4 区間ガウスの消去法
 3.3.5 密行列に対する精度保証法
 3.3.6 疎行列に対する精度保証法
 3.3.7 区間連立1次方程式
3.4 行列固有値問題
 3.4.1 密行列に対する精度保証法
 3.4.2 非線形方程式を利用した精度保証法
 3.4.3 大規模疎行列の場合
章末問題

4. 数学関数の精度保証
4.1 指数関数
 4.1.1 指数関数
 4.1.2 expm1
4.2 対数関数
 4.2.1 対数関数
 4.2.2 log1p
4.3 三角関数
 4.3.1 sin,cos
 4.3.2 tan
4.4 逆三角関数
 4.4.1 arctan
 4.4.2 arcsin
 4.4.3 arccos
 4.4.4 atan2
4.5 双曲線関数
 4.5.1 sinh
 4.5.2 cosh
 4.5.3 tanh
4.6 逆双曲線関数
 4.6.1 sinh-1
 4.6.2 cosh-1
 4.6.3 tanh-1
章末問題

5. 数値積分の精度保証
5.1 準備
 5.1.1 積分とは
 5.1.2 ラグランジュ補間多項式
 5.1.3 コーシーの積分公式と高階微分
5.2 近似積分公式と誤差
 5.2.1 台形則と中点則
 5.2.2 ニュートン-コーツの公式
 5.2.3 Steffensen公式(開いたニュートン-コーツの公式)
 5.2.4 ガウス-ルジャンドル公式
 5.2.5 Lobatto積分とRadau積分
 5.2.6 複合則
 5.2.7 Romberg積分法
 5.2.8 二重指数関数型数値積分公式
5.3 精度保証付き数値積分法の例
 5.3.1 高階微分を用いた精度保証付き数値積分法
 5.3.2 複素領域上の値を用いた精度保証付き数値積分法
 5.3.3 被積分関数の関数値計算における丸め誤差の高速計算
章末問題

6. 非線形方程式の精度保証付き数値解法
6.1 ニュートン-カントロヴィッチの定理
 6.1.1 ニュートン法
 6.1.2 半局所的収束定理
 6.1.3 検証例
 6.1.4 ニュートン-カントロヴィッチの定理の応用について
6.2 Krawczykによる解の検証法
 6.2.1 平均値形式とKrawczyk写像
 6.2.2 Krawczyk写像による解の検証定理
 6.2.3 非線形方程式の全解探索アルゴリズム
6.3 Krawczykの方法による検証例
 6.3.1 自動微分を使ったヤコビ行列の計算
 6.3.2 検証例
6.4 区間ニュートン法
章末問題

7. 常微分方程式の精度保証付き数値解法
7.1 ベキ級数演算
 7.1.1 Type-IPSA
 7.1.2 Type-IPSAの例
 7.1.3 Type-IIPSA
 7.1.4 Type-IIPSAの例
7.2 ピカール型の不動点形式への変換
7.3 解のテイラー展開の生成
7.4 解の精度保証
7.5 Lohner法
7.6 初期値問題の精度保証の例
 7.6.1 PSA法
 7.6.2 Lohner法
7.7 長い区間における初期値問題の精度保証
 7.7.1 推進写像の微分
 7.7.2 推進写像の書き直し
 7.7.3 解の接続
7.8 縮小写像原理による解の一意性
7.9 射撃法による境界値問題の精度保証
7.10 ベキ級数演算の無駄の削減
章末問題

8. 偏微分方程式の精度保証付き数値解法
8.1 偏微分方程式のモデル問題
 8.1.1 ポアソン方程式の境界値問題
 8.1.2 ラプラス作用素の固有値問題
 8.1.3 非線形偏微分方程式の境界値問題
8.2 関数空間の設定と記号
8.3 補間関数の誤差定数
8.4 ポアソン方程式の境界値問題と有限要素法
 8.4.1 有限要素法
 8.4.2 正則な解の場合
 8.4.3 解に特異性のある場合
 8.4.4 計算例
8.5 微分作用素の固有値評価
 8.5.1 固有値の下界評価
 8.5.2 ラプラス作用素の固有値問題
 8.5.3 固有値評価の計算例
8.6 半線形楕円型偏微分方程式問題の解の存在検証
 8.6.1 対象とする問題と準備
 8.6.2 フレームワーク
 8.6.3 ソボレフの埋め込み定理と線形化作用素の局所連続性
 8.6.4 線形化作用素F′[^u]の正則性とその逆作用素のノルム評価
 8.6.5 残差ノルムの評価方法
 8.6.6 解の検証例
章末問題

9. 精度保証付き数値計算の応用
9.1 線形計画法の精度保証
 9.1.1 線形計画問題の基礎
 9.1.2 単体法における解の条件と精度保証付き数値計算法
 9.1.3 最適値(最適目的関数値)の精度保証付き数値計算法
 9.1.4 内点法を基礎とした解の精度保証付き数値計算法
9.2 計算幾何の精度保証
 9.2.1 位置関係の判定問題
 9.2.2 浮動小数点フィルタ
 9.2.3 ロバスト計算
 9.2.4 精度保証を用いた反復アルゴリズム
9.3 3次元多様体の双曲性判定
 9.3.1 背景
 9.3.2 Gluing equation~解が双曲性を証明する~
 9.3.3 HIKMOT~Gluing equationを精度保証付き計算で解く~
 9.3.4 応用
9.4 HPC環境における精度保証
 9.4.1 GPUにおける区間演算
 9.4.2 最近点丸めのみを用いた計算例
 9.4.3 高精度な行列積計算法
 9.4.4 GPUを用いた数値計算例
 9.4.5 分散メモリマシンを用いた数値計算例
9.5 INTLABの紹介
 9.5.1 区間の入力
 9.5.2 区間の出力
 9.5.3 区間演算
 9.5.4 区間ベクトル・区間行列
 9.5.5 残差の高精度計算
 9.5.6 固有値問題
 9.5.7 MATLABによる固有値の不正確な近似
 9.5.8 自動微分:勾配とヘッセ行列
 9.5.9 局所的最適化
 9.5.10 関数のすべての根
 9.5.11 大域的最適化
 9.5.12 その他のデモ
章末問題

索引

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