科学技術と共に歩む

数値計算法とは，連続数学の問題を計算機上で四則演算に還元して解く手法のことをいう。計算機が発明されたのは1940年代であるから，まだ半世紀しか経過していない。計算機の発明に深く関わったフォンノイマンとチューリングは，計算機の発明後，ただちに連立一次方程式の数値計算における誤差解析論を発表している。これにより，かなり一般的な連立一次方程式の解の，かなりよい近似が数値計算によって求められることが示された。これらは現代数値解析の研究の始まりである。その後半世紀経過し，多くの優れた研究者により数値解析理論は高度に発展した。また，計算機技術も驚くような発展をし，いまや少し前の大型計算機がパソコンとして一人に一台占有して使える時代となった。この間，多くの科学的発見に数値計算は貢献した。また，さまざまな工学的技術が数値計算をもとに構築された。

しかし，そのような現代になっても，数値計算のつぎのような基本問題が残されたままである。占部 実の言葉を借りよう。

「電子計算機を用いる数値計算にあっては，その計算は正確には行われない。四則演算の結果はそのつど四捨五入によって丸められるし，極限を含む無限演算はすべて有限演算で近似して行われる。したがって計算結果は，つねにある程度の誤差をともなっている。そこで，計算結果から正しい結論を得るためには，この計算結果に含まれている誤差を評価して真の値の範囲を確定することが必要になる。このことは，数値計算に従事している人たちの間ではあまりとり上げられなかったが，これは一つには結果を得るのに急でそこまで手がまわらなかったということ，また一つにはこのような仕事は労が多くて報われるものが少ないと考えられていたこと，この二つに原因があるように思われる。(中略)今後は計算結果の誤差評価を行って真の値の範囲を確定し，数値計算によって得られた結論を論理的にも正しいものにする必要がある。」(京都大学数理解析研究所講究録(1972)より抜粋)

連続数学の問題の真の解の存在を証明したり，真の解との誤差範囲が保証された精度のよい近似解を得る数値計算を精度保証付き数値計算とし寸。著者は1990年以来この分野の研究に取り組んできたが，最近になって，近似解の精度保証が近似解を得る子聞の数倍の手間(2倍程度)で可能であることに気づいた。

基本がシンプルなので数値計算のどの分野にも適用できる。こうして，精度保証付き数値計算の研究を始めて以来，10年来の夢であった“精度保証付き数値計算が簡単かつ高速にできる"ことが実現した。結果的にみれば，線形計算においては，丸めの制御を適切な場所で行い，従来の数値計算の資産を利用して精度保証付き数値計算を実行するという，シンプルな方法論になった。ただし，非線形系の計算については，区間演算の利用が必要となり，効率的な解析ができるようになるためには，CPUに実装する初等関数の精度に関する新しい規約づくりや，高速な区間演算ライブラリの開発など，従来の資産だけでは不十分で，新しい展開が必要となる場面も生じるものと思われる。

いずれにしても，数値計算の精度保証が簡単かつ高速にできるようになったので，近い将来，数値計算に精度保証を付加するのが日常的となるであろう。本書は，そのような時代に向けて，数値計算の各分野について高速で効率的な精度保証付き数値計算のための理論と，この10年間に蓄積した実際的なノウハウを展開したものである。記述の仕方としては，数値計算して近似解を求める段階の概要をまとめ，その精度を保証する過程を詳述するというスタイルをとった。これにより，数値計算の初学者であっても，本書を理解できるように工夫した。本書が“数値計算といえば精度保証付き数値計算のことである"時代が到来するのに少しでも役立てば，著者の喜びはこれに過ぎるものはない。

1999年11月
大石進一