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書籍詳細

計測・制御テクノロジーシリーズ 20)

  情報数学
- 組合せと整数およびアルゴリズム解析の数学 -

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浅野孝夫 中大教授 工博 著

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発行年月日:2009/04/30 , 判 型: A5,  ページ数:252頁

ISBN:978-4-339-03370-0,  定 価:3,564円 (本体3,300円+税)

ジャンル:

本書は,情報数学におけるアルゴリズムデザインとその解析の数学を,高度な概念まで段階的に学びやすくなるように,系統的に解説した。また,具体的な例題を多く取り上げ,その章の概念が自然に理解できるように努めた。

【目次】

1. 和の公式と数学的帰納法
1.1 本章の目標
1.1.1 ウォーミングアップ問題
1.2 数学的帰納法
1.2.1 ウォーミングアップ問題の解説
1. 和の公式と数学的帰納法
1.1 本章の目標
1.1.1 ウォーミングアップ問題
1.2 数学的帰納法
1.2.1 ウォーミングアップ問題の解説
1.3 和の公式の図による説明
1.4 等差級数と等比級数
1.5 発展トピック
問題

2. 鳩の巣原理と背理法
2.1 本章の目標
2.1.1 ウォーミングアップ問題
2.1.2 ウォーミングアップ問題の解説
2.2 鳩の巣原理と背理法
2.2.1 鳩の巣原理の応用
2.2.2 素数の存在
問題

3. 不等式
3.1 本章の目標
3.1.1 ウォーミングアップ問題
3.1.2 ウォーミングアップ問題の解説
3.2 算術平均と幾何平均
3.3 コーシー? シュワルツの不等式
3.3.1 コーシー? シュワルツの不等式:積分形式版
3.4 指数関数と対数関数に関する不等式
3.4.1 調和数Hn の近似式
3.4.2 自然対数の底e を用いた近似式
問題

4. 包除原理
4.1 本章の目標
4.1.1 ウォーミングアップ問題
4.1.2 ウォーミングアップ問題の解説
4.2 包除原理
4.3 オイラー関数
4.4 包除原理とオイラー関数の適用例と注意
問題

5. 順列と組合せ
5.1 本章の目標
5.1.1 ウォーミングアップ問題
5.1.2 ウォーミングアップ問題の解説
5.2 順列と関数の個数
5.2.1 順列と円順列の個数
5.2.2 関数の個数
5.2.3 特殊な関数の個数
5.3 組合せの個数
5.3.1 組合せの個数nCk
5.3.2 重複組合せの個数
5.4 二項定理
5.4.1 二項展開
5.4.2 二項定理の応用
5.5 多項係数と多項展開
5.6 一般化二項係数(組合せの個数の一般化)
5.6.1 多項式を用いた組合せの個数の計算
5.7 乱列と全射関数の個数
問題

6. 分割:集合と整数の分割
6.1 本章の目標
6.1.1 ウォーミングアップ問題
6.1.2 ウォーミングアップ問題の解説
6.2 集合の分割
6.2.1 ベル数
6.2.2 第2種のスターリング数
6.2.3 第1種のスターリング数
6.2.4 第1種のスターリング数と第2種のスターリング数の関係
6.3 正整数の分割
6.3.1 共役な分割
6.4 カタラン数
6.4.1 カタラン数と関係する概念
6.4.2 カタラン数の導出
問題

7. 最大公約数と中国の剰余定理
7.1 本章の目標
7.1.1 ウォーミングアップ問題
7.1.2 ウォーミングアップ問題の解説
7.2 最大公約数
7.2.1 ユークリッドの互除法
7.2.2 拡張ユークリッド互除法
7.3 剰余系と有限群
7.3.1 群の定義
7.3.2 剰余方程式
7.3.3 部分群と巡回群
7.3.4 フェルマーの小定理
7.3.5 フェルマーの小定理の応用
7.4 体
7.4.1 体の例
7.5 中国の剰余定理
7.6 RSA 公開キー暗号系
7.7 素数の個数
7.8 半順序集合
7.8.1 半順序集合の例
7.8.2 メビウス関数
7.9 反転公式
7.9.1 メビウスの反転公式
問題

8. 母関数
8.1 本章の目標
8.1.1 ウォーミングアップ問題
8.2 数列と母関数
8.2.1 ウォーミングアップ問題の解説
8.2.2 母関数の例
8.3 二項係数と代表的な数列の母関数
8.4 分割数の母関数
8.4.1 指数母関数の例
8.5 発展トピック
問題

9. 漸化式
9.1 本章の目標
9.1.1 ウォーミングアップ問題
9.2 漸化式と差分方程式
9.3 定数係数の線形の差分方程式の解法
9.3.1 展開による定数係数の線形の差分方程式の解法
9.3.2 一般の定数係数の線形の同次差分方程式の解法
9.3.3 一般の定数係数の線形の差分方程式の解法
9.4 母関数による定数係数の線形の差分方程式の解法
問題

10. 漸近評価とスターリングの近似式
10.1 本章の目標
10.1.1 ウォーミングアップ問題
10.1.2 ウォーミングアップ問題の解説
10.2 漸近評価のための表記法
10.3 漸近近似評価の誤差:絶対誤差と相対誤差
10.4 整数の階乗の粗い漸近評価
10.5 二項係数の近似式
10.6 発展:階乗と特別な二項係数のより精密な近似不等式
10.7 発展:ウォリスの公式
10.8 漸化式の解の漸近評価と分類定理
問題

11. 発展:ベルヌーイ数と整数のm乗和
11.1 本章の目標
11.2 ベルヌーイ数と二項係数によるm乗和の公式の導出
11.3 ベルヌーイ数の指数母関数によるm乗和の公式の導出
11.3.1 m乗和の母関数と指数母関数

12. 発展:オイラーの和公式
12.1 本章の目標
12.2 有限級数の和の近似公式
12.3 ベルヌーイ多項式とオイラーの和公式
12.4 オイラーの和公式の応用1:調和数Hnの漸近近似
12.5 オイラーの和公式の応用2:n!の漸近近似

13. 発展:素数定理へのアプローチ
13.1 本章の目標
13.2 記法
13.3 素数定理の近似版2の証明
13.4 素数定理の近似版3の証明
13.5 素数定理の証明へのアプローチ
問題

付録
A.1 微分積分学の基礎事項
A.1.1 微分の定義と基本的性質
A.1.2 積分の定義と基本的性質
引用・参考文献
問題解答
索引

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