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  数値計算の基礎
- 解法と誤差 -

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高倉葉子 東海大教授 博士(工学) 著

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発行年月日:2007/04/20 , 判 型: A5,  ページ数:240頁

ISBN:978-4-339-06092-8,  定 価:3,024円 (本体2,800円+税)

ジャンル:

大学生を対象とした,アルゴリズムを中心とした数値計算法の入門書。既存のソフトウェアではカバーしきれない領域に対して,より信頼性と精度の高い数値計算を行うための基礎を,特に精度評価と誤差評価に焦点を当てて解説した。

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【内容】
A. 計算機における数値表現
B. ベクトルと行列のノルム
C. 不動点反復法の収束に関する考察
D. 補間と誤差
E. 数値微分の差分演算子表現

【目次】

1. 数値計算における誤差
1.1 誤差と精度
1.2 計算機における数値の表現
1.2.1 整数型の数の表現
1.2.2 実数型の数の表現(浮動小数点数表示)
1. 数値計算における誤差
1.1 誤差と精度
1.2 計算機における数値の表現
1.2.1 整数型の数の表現
1.2.2 実数型の数の表現(浮動小数点数表示)
1.3 科学技術計算における近似と誤差
1.3.1 計算機の浮動小数点システムによる誤差:広義の丸め誤差
1.3.2 アルゴリズムによる誤差:打切り(あるいは離散化)誤差
1.3.3 問題の性質による誤差:伝播誤差
2. 誤差伝播の評価
2.1 ノルムについて:Question & Answer
2.2 行列の正則性について
2.3 伝播誤差の評価と条件数
2.3.1 関数値f(x) を求める場合:入力:x =⇒ 出力:f(x)
2.3.2 方程式系f(x) = 0 の根を求める場合:入力:f =⇒ 出力:x
2.3.3 連立1 次方程式系Ax = b の解を求める場合:入力:A, b =⇒出力:x
2.3.4 固有値問題Ax = λx を解く場合:入力:A =⇒ 出力:λ
2.3.5 定積分I =∫baf(x)dx を求める場合:入力:f, a, b =⇒ 出力:I
2.3.6 導関数dnf(x)/dxn を求める場合:入力:f =⇒ 出力:dnf(x)/dxn
2.3.7 常微分方程式の初期値問題dy/dx = f(x, y), y(x0) = y0:入力:f, y0 =⇒ 出力:y(x)
3. 非線形方程式の解法
3.1 1 変数スカラー非線形方程式
3.1.1 ニュートン法
3.1.2 補遺1:アルゴリズムとフローチャート,およびプログラム
3.1.3 補遺2:多項式と導関数の効率的な計算法
3.1.4 反復法の収束に関して
3.1.5 割線法
3.1.6 2 分法
3.2 多変数の連立非線形方程式
3.2.1 ニュートン法
3.2.2 反復法の収束に関して
章末問題
4. 連立1 次方程式の解法
4.1 連立1 次方程式の解
4.2 LU 分解法
4.3 同じ係数行列をもつ何組かの問題を解く場合
4.4 補遺:行列解法のプログラム書法
4.5 ガウスの消去法
4.5.1 ガウスの消去法(基本)
4.5.2 掃出し法(あるいはガウス・ジョルダン消去法)
4.6 ガウスの消去法とLU 分解
4.6.1 ガウスの消去法の行列・ベクトル表示
4.6.2 ピボット選択
4.7 三項方程式の解法
4.8 反復法
4.8.1 ヤコビ法
4.8.2 ガウス・ザイデル法
4.8.3 SOR 法(加速緩和法)
4.8.4 収束判定のための反復打切り条件
4.9 反復法の収束
4.9.1 収束条件
4.9.2 反復法が収束する例
章末問題
5. 行列の固有値問題
5.1 特性方程式と固有値問題
5.2 固有値問題の数値解法についての概観
5.3 固有値問題の性質
5.4 ヤコビ法
5.4.1 ヤコビ法の収束
5.4.2 固有値と固有ベクトル
5.4.3 数値計算におけるアルゴリズム
5.5 QR 法
5.5.1 原点移動による収束の加速
5.5.2 QR 分解
5.6 べき乗法
5.7 逆反復法
章末問題
6. 関数近似:補間と補外
6.1 多項式補間法
6.1.1 ラグランジュ補間法
6.1.2 ニュートン補間法
6.1.3 直交多項式補間
6.2 反復1次補間法
6.2.1 ネヴィル補間法
6.2.2 リチャードソン補外法
6.3 多項式補間法の誤差
6.4 エルミート補間法
6.5 区間多項式補間法
6.5.1 区間エルミート補間法
6.5.2 スプライン補間法
章末問題
7. 関数近似:線形最小二乗法
7.1 正規方程式
7.2 QR 分解を用いる解法
7.3 選点直交多項式を用いる解法
章末問題
8. 数値積分
8.1 補間型積分公式
8.1.1 ニュートン・コーツ積分公式
8.1.2 複合型積分
8.1.3 ガウス型積分
8.2 ロンバーグ積分
章末問題
9. 数値微分
9.1 テイラー級数展開からの導出
9.2 ラグランジュ補間法からの導出
9.3 リチャードソン補外法による高精度化
章末問題
10. 常微分方程式の初期値問題
10.1 オイラー法という簡単な例より
10.1.1 導出方法(いくつかの観点から)
10.1.2 陽解法と陰解法
10.2 精度と安定性
10.2.1 精度
10.2.2 安定性
10.2.3 ステップ幅の決め方
10.3 一段法
10.3.1 テイラー展開法
10.3.2 ルンゲ・クッタ法
10.3.3 一段法の安定性と誤差#
10.4 多段法
10.4.1 数値積分に基づく方法:アダムス型公式
10.4.2 数値微分に基づく方法
10.4.3 予測子修正子法
10.4.4 多段法の安定性#
10.5 高階常微分方程式の解法
10.6 連立常微分方程式系への適用
10.6.1 例:一段法#
10.6.2 例:2 階常微分方程式で表される系
10.6.3 例:2 階常微分方程式の系の数値計算法
章末問題
11. 離散フーリエ変換
11.1 フーリエ級数展開
11.2 フーリエ変換
11.3 離散フーリエ変換(DFT)
11.4 離散フーリエ変換の性質
11.5 高速フーリエ変換(FFT)
11.5.1 回転因子
11.5.2 時間間引き型FFT
章末問題
引用・参考文献
索引

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