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書籍詳細

物理・工学のための   確率過程論

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小倉久直 京大名誉教授 工博 著

発行年月日:1978/04/20 , 判 型: A5,  ページ数:280頁

ISBN:978-4-339-00422-9,  定 価:4,104円 (本体3,800円+税)

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従来の教科書ではあまり述べられなかった確率過程の表現理論を詳しく解説し,通常理工科系の応用数学の知識の範囲で理解できるよう配慮してある。

【目次】

第1章 確率論の基礎知識
1. 確率変数・確率分布・平均
 1・1 抽象的確率論の基礎知識
   事象/確率の定義/結合事象の確率
 1・2 確率変数・確率分布
第1章 確率論の基礎知識
1. 確率変数・確率分布・平均
 1・1 抽象的確率論の基礎知識
   事象/確率の定義/結合事象の確率
 1・2 確率変数・確率分布
   確率変数/2次元確率変数/条件付確率/確率変数の変換/確率変数の和の確率分布/多次元確率変数
 1・3 確率変数の平均
   平均/モーメント/2次元量の平均/相関行列/複素確率変数
2. 特性関数・モーメント母関数・キュムラント
 2・1 特性関数
 2・2 モーメント母関数
 2・3 キュムラント
   1変数キュムラント/多変数キュムラント
3. 代表的な確率変数
 3・1 Gauss確率変数
   Gauss変数/独立Gauss変数の和/2次元Gauss変数/Rayleigh分布/複素Gauss変数/N次元Gauss変数/多次元Gauss変数の   モーメント
 3・2 Poisson確率変数
   Poisson変数/Poisson変数のモーメント/独立Poisson変数の和
 3・3 2項変数と極限分布2項変数/De Moivre-Laplaceの極限定理/Poissonの極限定理
4. 確率密度関数の近似表現
 4・1 Hermite多項式
   Hermite多項式/多次元のHermite多項式
 4・2 Gram-Charlier展開
   確率密度を重みとする直交多項式/確率密度関数の直交展開/Gram-Charlier展開/準モーメントとGram-Charlier展開
   多次元Gram-Charlier展開
 4・3 Charlier多項式と離散的確率分布のCharlier展開
   Charlier多項式/離散的確率分布のCharlier展開
5. 確率変数列の収束
  概収束/確率収束/平均収束/分布収束/独立変数の和/Gauss変数列
6. 大数の法則、中心極限定理
 6・1 大数の法則
 6・2 中心極限定理
第2章 確率過程の基礎概念
7. 確率過程の概念
 7・1 確率系列・確率過程の定義
 7・2 モーメント関数/キュムラント関数
 7・3 確率過程の連続性と微分
 7・4 確率過程の一般化
8. 2次過程
 8・1 2次過程の定義
 8・2 相関関数・連続性
   相関関数の性質/2次過程の連続性
 8・3 2次過程のつくる線形空間
 8・4 2次過程の微分と積分
   q.m. 微分/q.m. 積分/q.m. Stieltjes 積分
 8・5 Karhunen-Loeve展開
 8・6 白色雑音・直交増分過程・ランダム測定
 8・7 雑音積分・確率積分
   雑音積分/確率積分/無相関変数列
 8・8 確率積分による2次過程の表現
 8・9 2次過程の線形変換
9. 代表的な確率過程の例
 9・1 Gauss過程
   Gauss過程/Wiener 過程(Browm運動過程)/Wiener積分/見本関数の連続性/見本関数の汎関数
 9・2 Poisson過程
   Poisson過程/白色雑音/確率積分/ショットノイズとCampbellの定理/ランダム電信過程
第3章 定常過程
10. 定常過程の定義・相関関数
 10・1 定常過程の定義
    強定常過程/弱定常過程
 10・2 定常過程の相関関数
    相関関数の性質/定常過程の連続性と微分/多次元定常過程/相関関数の例/相関関数行列の例/複素定常過程/特別な
    複素定常過程/ランダム周波数変調波の相関関数
11. 定常過程のつくる線形空間と移動変換
   線形空間Lx2[Ω]/X(t)から導かれる定常過程
12. 相関関数のスペクトル表現
   スペクトル密度/スペクトル密度の非負値性/相関関数のスペクトル表現/スペクトルの表現の例/スペクトル密度の例
   ランダム周波数変調波のスペクトル密度
13. 定常過程のスペクトル表現
   形式的スペクトル表現/確率積分への書換え/ランダムスペクトル測度/スペクトル表現/実形式のスペクトル表現/
   離散スペクトルの定常過程/連続スペクトルの定常過程/Fourier級数による表現/ランダム位相による表現/非定常
   過程の調和分解定理
14. 多次元定常過程のスペクトル表現
   M次元定常過程/相関関数行列のスペクトル表現/M次元定常過程のスペクトル表現/ベクトル形式のスペクトル表現/
   2次元定常過程/狭帯域定常過程
15. 定常過程の線形変換
  積分変換/フィルタ・スペクトル表現/因果性フィルタ/低域通過フィルタ/微分演算/多次元定常過程の線形変換
16. 定常過程の移動平均表現
   移動平均/白色雑音のFourier変換/確率積分の表現の変換/移動平均のスペクトル表現/片側移動平均/移動平均の線形   変換/多次元移動平均/M次元移動平均の線形独立性
17. 確率微分方程式から導かれる定常過程
 17・1 定常過程によって励振される微分方程式
    微分方程式/Green関数/定常過程の解/一般解/Green関数による解/スペクトル表現による解/Green関数の一般形/
    Green関数の積分表示/共鳴現象(定常過程の解が存在しない例)
 17・2 白色雑音によって励振される微分方程式
    Langevin 方程式/Ornstein-Uhlenbeck過程/片側移動平均/2重特性根の場合/両側移動平均/連立確率微分方程式
18. 定常系列
   定常係列/Xnのつくる線形空間と移動変換/相関関数のスペクトル表現/定常系列のスペクトル表現/定常過程の標本
   化系列/定常系列の線形変換/白色雑音/移動平均/確率差分方程式/Langevin方程式の近似/相関のある乱数の発生法
19. 周期定常過程
   周期定常性/相関関数のスペクトル表現/周期定常過程のスペクトル表現/平均強度/標本系列/定常系列から導かれる   周期定常過程/画像走査信号
20. エルゴード定理・スペクトル密度の推定
   平均値のエルゴード定理/相関関数のエルゴード定理/スペクトル密度の推定/ペリオドグラムの性質
21. 強定常過程の移動変換とエルゴード性
   強定常過程からつくられる確率変数/強定常過程の移動変換/強定常過程のエルゴード性
22. 定常過程の一般化、一様確率場・一様等方確率場
   一様確率場/一様等方確率場/一様等方ベクトル確率場 
第4章 推定・予測理論
23. 推定問題と2乗平均推定
   推定問題/2乗平均推定
24. 線形2乗平均推定ー有限個のデーター
   線形2乗平均推定と直交原理/Gauss変数の2乗平均推定/予測/広義Markov過程/内そう
25. 線形2乗平均推定ー連続パラメータのデーター
   直交原理/積分方程式/ろ波/予測
26. 定常系列の予測理論
 26・1 予測スペクトル理論ー有限個のデーター
 26・2 予測スペクトル理論ー無限個のデーター
    最小2乗平均誤差/予測理論によるスペクトル密度の推定
 26・3 イノベーション系列と移動平均表現
    イノベーション系列/イノベーション系列のスペクトル表現/片側移動平均
 26・4 予測公式
    移動平均による予測公式/スペクトル表現による予測公式/データによる予測公式/定常系列の決定性と非決定性
 26・5 スペクトル密度の因子分解
 26・6 定常系列の予測の例
    Markov系列/m重Markov系列(自己回帰形スペクトル)/有理形スペクトル
 27. 定常過程の予測理論
 27・1 定常過程の予測問題
 27・2 スペクトル密度の因子分解
 27・3 イノベーション過程と片側移動平均
 27・4 予測公式
    移動平均による予測公式/スペクトル表現による予測公式/データによる予測公式
 27・5 定常過程の予測の例
    Markov過程/多重Markov過程/有理形スペクトル/決定的定常過程
第5章 Gauss過程の非線形理論
28. 多変数Hermite多項式
   定義/表式/直交展開/多変数Hermite多項式の一般化/多変数複素Hermite多項式
29. 独立Gauss系列の汎関数と直交展開
   Gauss変数からつくられる直交多項式/独立Gauss系列のHermite多項式汎関数/変換性/独立Gauss系列の汎関数の直交
   展開/Gauss白色雑音から導かれる強定常系列
30. 多重Wiener積分・Wiener-Hermite汎関数
   Brown運動の汎関数/Wiener-Hermite微分式/多重Wiener積分/例
31. 複素多重Wiener積分・複素Wiener-Hermite汎関数
   複素Gaussランダム測度/複素Wiener-Hermite微分式/複素多重Wiener積分
32. Brown運動の汎関数の直交展開・Wiener-Hermite展開
   多重Wiener積分の表現の変換/Brown運動のL2-汎関数の直交展開/Brown運動の移動変換/Brown
運動から導かれる
   強定常過程/例/ランダム周波数変調波/Brown運動過程のエルゴード性/定常Gauss過程の汎関数とエルゴード性
33. Brown運動から導かれる非定常過程の表現
   非定常過程の表現I/一般化した移動変換/非定常過程の表現2/強定常過程を係数とする確率微分方程式
付録
A1. Hilbert空間の基礎知識
 A 1・1 Hilbert空間の定義
 A 1・2 Hilbert空間の例
 A 1・3 直交展開
 A 1・4 線形作用素
A2. Fourier積分・Fourier変換
   L1- Fourier変換/Fourier-Stieltjes変換/L2-Fourier変換
A3. 対称核積分方程式
   固有値積分方程式/ Hilbert-Schmidtの定理/Mercerの定理
参考書
索引

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