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書籍詳細

システム制御工学シリーズ 7)

  システム制御のための数学(1)
- 線形代数編 -

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太田快人 阪大教授 工博 著

発行年月日:2000/11/06 , 判 型: A5,  ページ数:266頁

ISBN:978-4-339-03307-6,  定 価:3,456円 (本体3,200円+税)

ジャンル:

本シリーズを学ぶ上で必要となる数学のための教本である。線形代数編と関数解析編の二つに大きく分け,本書はそのうち線形代数を解説する。本書は教科書であるが,制御工学のための数学を復習,自習したいと思う人にも適している。

【目次】

1. 行列とベクトル
 1.1 行列とベクトルの構成
  1.1.1 実数または複素数の配列
  1.1.2 行列の演算
 1.2 行列式
1. 行列とベクトル
 1.1 行列とベクトルの構成
  1.1.1 実数または複素数の配列
  1.1.2 行列の演算
 1.2 行列式
  1.2.1 行列式の定義
  1.2.2 行列式の基本的性質
  1.2.3 小行列式
 1.3 逆行列
 演習問題

2. 線形空間
 2.1 線形空間の定義と具体例
  2.1.1 線形空間-その定義
  2.1.2 線形空間の例
 2.2 一次独立と次元
  2.2.1 一次独立の定義
  2.2.2 一次独立な集合の性質
  2.2.3 次元
 2.3 基底
  2.3.1 基底の定義
  2.3.2 基底による線形空間の表現
 2.4 部分空間
  2.4.1 部分空間の和と共通集合
  2.4.2 補空間
  2.4.3 商空間
 演習問題

3. 線形写像
 3.1 線形写像の定義と具体例
  3.1.1 定義
  3.1.2 線形写像の例
  3.1.3 線形写像のつくる線形空間
 3.2 正則な線形写像
 3.3 基底を用いた線形写像の行列表示
  3.3.1 行列表示
  3.3.2 基底の変換
 演習問題

4. 線形写像の像と零空間
 4.1 像と零空間
  4.1.1 像と零空間の定義
  4.1.2 線形写像の階数
  4.1.3 行列の階数との関係
 4.2 連立一次方程式の解の構造
 4.3 不変空間と行列表示
  4.3.1 不変空間の定義
  4.3.2 行列表示との関係
 4.4 像と零空間を用いた線形写像の分解
  4.4.1 線形写像の分解
  4.4.2 最大階数分解への適用
 演習問題

5. 固有値 I
 5.1 固有値と固有ベクトル
  5.1.1 固有値と特性方程式
  5.1.2 行列の固有値のもついくつかの性質
 5.2 固有ベクトルを用いた行列の対角化
 5.3 不変部分空間と固有値
 演習問題

6. 固有値 II
 6.1 最小多項式
  6.1.1 最大公約多項式とユークリッドの互除法
  6.1.2 零化多項式と最小多項式
  6.1.3 最小多項式と一般化固有空間の直和分割
 6.2 ジョルダン標準形
  6.2.1 一般化固有空間とジョルダンブロック
  6.2.2 ジョルダン標準形
 6.3 行列関数
  6.3.1 ジョルダン標準形を用いた行列関数の定義
  6.3.2 行列関数の性質
 演習問題

7. 内積をもった線形空間
 7.1 内積の定義と基本的性質
  7.1.1 内積の定義と具体例
  7.1.2 内積から定まるノルム
  7.1.3 基本的性質
 7.2 直交性
  7.2.1 定義
  7.2.2 正規直交基底
 7.3 直交補空間
  7.3.1 直交補空間の定義
  7.3.2 直交補空間の基本的性質
 演習問題

8. 正規行列とその固有値
 8.1 正規行列の固有ベクトル
  8.1.1 定義と具体例
  8.1.2 正規行列の固有ベクトル
 8.2 直交行列とユニタリ行列
  8.2.1 固有値の存在領域
  8.2.2 線形変換としてのユニタリ行列と直交行列
  8.2.3 ユニタリ行列と直交行列による相似変換
 8.3 実対称行列とエルミート行列
  8.3.1 固有値の存在領域
  8.3.2 ミニマックス定理とその帰結
 演習問題

9. 二次形式と正定行列
 9.1 二次形式の定義と符号
  9.1.1 二次形式とエルミート行列
  9.1.2 二次形式の符号
  9.1.3 二次曲面
 9.2 正定行列
  9.2.1 正定行列の定義
  9.2.2 正定行列の性質
  9.2.3 準正定行列の平方根
 9.3 二次形式と内積
 演習問題

10. 射影と一般化逆行列
 10.1 射影と補空間
  10.1.1 射影
  10.1.2 射影と冪等(べきとう)な行列
 10.2 直交射影と直交補空間
  10.2.1 直交射影
  10.2.2 直交射影と冪等なエルミート行列
 10.3 一般化逆行列
  10.3.1 一般化逆行列の定義
  10.3.2 一般化逆行列のクラス
  10.3.3 疑似逆行列
 演習問題

11. 特異値
 11.1 特異値分解
  11.1.1 特異値分解の定義
  11.1.2 特異値分解の幾何学的意味
 11.2 特異値のさまざまな性質
  11.2.1 ミニマックス定理
  11.2.2 行列の積和と特異値の関係
 11.3 特異値分解の利用
  11.3.1 階数の決定
  11.3.2 低階数行列での近似
  11.3.3 特異値分解を利用した計算
 演習問題

12. ノルムをもった線形空間
 12.1 ノルム
  12.1.1 ノルムの定義と基本的性質
  12.1.2 ノルムをもつ線形空間の具体例
  12.1.3 内積より導かれるノルムとの相違点
  12.1.4 行列のノルム
 12.2 行列の作用素としてのノルム
  12.2.1 定義と基本的性質
  12.2.2 作用素としてのノルムの具体例
 12.3 正方行列のノルムと固有値
  12.3.1 ノルムとスペクトル半径
  12.3.2 行列のノルムと正則性
 演習問題

13. 行列に関する等式と不等式
 13.1 線形行列方程式
  13.1.1 線形行列方程式の解の存在条件
  13.1.2 リアプノフ方程式
 13.2 代数リッカチ方程式
  13.2.1 連続形代数リッカチ方程式
  13.2.2 離散形代数リッカチ方程式
 13.3 線形行列不等式
 演習問題

14. 行列の公式
 14.1 行列式と逆行列に関する公式
  14.1.1 行列式
  14.1.2 逆行列
  14.1.3 微分
  14.1.4 トレース
 14.2 行列指数関数に関する公式
 演習問題

引用・参考文献
演習問題の解答
索引

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